Existence and uniqueness of reflecting diffusions in cusps
Existence and uniqueness of reflecting diffusions in cusps
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尖点反射扩散的存在性和唯一性
DOI：
10.1214/18-ejp204
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发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
T. Kurtz
中科院分区：
文献类型：
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作者：
C. Costantini;T. Kurtz
我们考虑$2维区域中具有(斜)反射的随机微分方程，该区域在原点有尖点，即.在原点的邻域中有形式$\{(x_1，x_2)：0<；x_1\leq\Delta_0，\psi_1(X_1)<；x_2<；\psi_2(X_1)\}$，其中$\psi_1(0)=\psi_2(0)=0$，$\psi_1‘(0)=\psi_2’(0)=0$。
给出在原点以外的边界点反射方向的矢量场$\Gamma$，定义原点处的反射方向$\Gamma^i(0)：=\Lim_{x_1\right tarrow 0^{+}}\Gamma(x_1，\psi_i(X_1))$，$i=1，2，$，并假设存在一个向量$e^{*}$使得$\lange^{*}，\Gamma^i(0)\Rangch>；0$，$i=1，2$，和$e^{*}_1>；证明了从原点开始解的弱存在唯一性，从原点开始证明了解的强存在唯一性。
我们的证明使用了一个新的标度结果和一个耦合引理。
We consider stochastic differential equations with (oblique) reflection in a $2$-dimensional domain that has a cusp at the origin, i..e. in a neighborhood of the origin has the form $\{(x_1,x_2):0<x_1\leq\delta_0,\psi_1(x_1)<x_2<\psi_ 2(x_1)\}$, with $\psi_1(0)=\psi_2(0)=0$, $\psi_1'(0)=\psi_2'(0)=0$.
Given a vector field $\gamma$ of directions of reflection at the boundary points other than the origin, defining directions of reflection at the origin $\gamma^i(0):=\lim_{x_1\rightarrow 0^{+}}\gamma (x_1,\psi_i(x_1))$, $ i=1,2,$ and assuming there exists a vector $e^{*}$ such that $\langle e^{*},\gamma^i(0)\rangle >0$, $i=1,2$, and $e^{*}_1>0$, we prove weak existence and uniqueness of the solution starting at the origin and strong existence and uniqueness starting away from the origin.
Our proof uses a new scaling result and a coupling argument.