Amnon Neeman: Triangulated Categories, Ann. of Math. Stud., 148, Princeton Univ. Press, 2001年，viii + 449ページ．
Amnon Neeman: Triangulated Categories, Ann. of Math. Stud., 148, Princeton Univ. Press, 2001年，viii + 449ページ．
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DOI：
10.11429/sugaku.0602213
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发表时间：
2008-04
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
淳 宮地
中科院分区：
文献类型：
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作者：
淳 宮地
ここ 20 年の間にホモロジー代数の分野, 特に導来圏の研究では目覚ましい発展があったといっていいだろう. 以前は, 上または下に有界な鎖複体の導来圏しか扱えなかったのだが, 非有界な鎖複体の導来圏を扱えるようになってから無限直和が自由に取れるようになり, 見通しは飛躍的に良くなった ([3],[7],[11],[16]). それは, より一般的な概念である三角圏の中で理論が展開され, 登場する概念は homotopy limit, Brown representability theorem, Bousfield localisation といった代数的トポロジーで形成されたものであった ([4],[5]). Cartan と Eilenberg が “Homological Algebra” の序文で ‘この 10 年間, 代数的トポロジーの方法が純代数の広範囲の領域に押し寄せてきて, 数多くの内的変革を起こしてきた.’と書いていたのを思い起こす ([6]). 導来圏は, ホモロジー代数的不変量を鎖複体の作る三角圏という立場から考えたもので, 従来のホモロジー群はその断面として出てくる. 導来圏および三角圏の概念が数学の様々な分野に登場しているのは, 岩波数学辞典第 4 版を覗いてみてもよく分かる ([1] 132C, 205H, 208D, 276F, 285H, 309, 441C, 446K, 460E). 著者 Neeman は導来圏, 三角圏の理論の発展に多くの貢献をしてきた ([3],[12],[13]). その彼が書いた待望の三角圏の本である. しかしながらこの本は, 本人が序章で書いているように, 単なる三角圏に関する諸概念や結果の解説書ではなく, Thomason’s localisation theorem や Brown representability theorem を拡張した新結果を中心にして書かれたものである. しかも, 他の知識を必要としないように三角圏の定義から始まって丁寧に注意深く諸概念が紹介されていき, 新しい Brown representability theorem へ向かっていくようにできている. 従って, 読者は書かれている三角圏に関する諸結果を読むのに他の知識をあまり必要とはしない. しかし, そこで書かれている三角圏の条件をみたす導来圏等の例もほとんどないので, 様々な導来圏等への応用は読者に任せられている. 三角圏 T からアーベル圏 A への加法的関手 H: T→ A がホモロジー関手であるとは, T の任意の完全三角形 (distinguished triangle) X u−→ Y v−→ Z w−→ ΣZ に対して H (X) H (u)−−−→ H (Y) H (v)−−−→