On probability measures arising from lattice points on circles
On probability measures arising from lattice points on circles
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关于圆上格点产生的概率测度
DOI：
10.1007/s00208-016-1411-4
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发表时间：
2016
影响因子：
1.4
通讯作者：
Kurlberg P
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kurlberg P
一个圆，以原点为中心，并选择半径，使其与整数格有非空的交集，以自然的方式在单位圆上产生概率测度。这样的测度及其弱极限，据说可以从圆上的格点得到。我们调查的一组可达到的措施，并表明，它包含了所有的极值点，在凸几何的意义上，所有的概率措施，在一些自然的对称不变的集合。此外，可达测度集在卷积下是封闭的，但仍存在不可达的对称概率测度。为了证明这一点，我们研究了投影到有限数量的傅立叶系数的几何形状，并发现可达到的措施集有许多奇异性与“分形”结构。这种复杂的结构在某种意义上是由素数幂引起的--无半径平方的圆不会出现奇点。
A circle, centered at the origin and with radius chosen so that it has non-empty intersection with the integer lattice, gives rise to a probability measure on the unit circle in a natural way. Such measures, and their weak limits, are said to beattainablefrom lattice points on circles. We investigate the set of attainable measures and show that it contains all extreme points, in the sense of convex geometry, of the set of all probability measures that are invariant under some natural symmetries. Further, the set of attainable measures is closed under convolution, yet there exist symmetric probability measures that arenotattainable. To show this, we study the geometry of projections onto a finite number of Fourier coefficients and find that the set of attainable measures has many singularities with a “fractal” structure. This complicated structure in some sense arises from prime powers—singularities do not occur for circles of radiusifnissquare free.
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