Optimal Contours for High-Order Derivatives
Optimal Contours for High-Order Derivatives
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高阶导数的最优轮廓
DOI：
10.1093/imanum/drs030
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发表时间：
2011
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Georg Wechslberger
中科院分区：
文献类型：
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作者：
F. Bornemann;Georg Wechslberger
作为更一般的轮廓积分问题的模型，我们考虑使用柯西积分公式对全纯函数的高阶导数进行数值计算。 Bornemann (2011) 表明，柯西积分的条件数强烈依赖于所选轮廓，并解决了最小化圆形轮廓的条件数的问题。在本文中，我们使用 Provan 算法最小化步长为 h 的网格路径类中的条件数，以找到嵌入在平面中的加权图中的最短封闭游走。数值示例表明，即使在已知圆形轮廓用途有限的情况下（例如具有分支切割奇点的函数），最佳矩形路径也会产生较小的条件数。
As a model of more general contour integration problems we consider the numerical calculation of high-order derivatives of holomorphic functions using Cauchy's integral formula. Bornemann (2011) showed that the condition number of the Cauchy integral strongly depends on the chosen contour and solved the problem of minimizing the condition number for circular contours. In this paper we minimize the condition number within the class of grid paths of step size h using Provan's algorithm for finding a shortest enclosing walk in weighted graphs embedded in the plane. Numerical examples show that optimal rectangular paths yield small condition numbers even in those cases where circular contours are known to be of limited use, such as for functions with branch-cut singularities.