DECOMPOSABLE POSITIVE MAPS ON C*-ALGEBRAS
DECOMPOSABLE POSITIVE MAPS ON C*-ALGEBRAS
复制标题
C*-代数上的可分解正映射
DOI：
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发表时间：
1982
期刊：
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通讯作者：
E. Størmer
中科院分区：
文献类型：
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作者：
E. Størmer
证明了 C* 代数 A 到 B(H) 的正线性映射可分解当且仅当对于所有 n G N 每当 (x,j) 和 (*,,) 属于 M„(A)+ 则 (<¡>(*,7)) 属于 M„(B(H))+ 。C* 代数 A 到 B(H) 的正线性映射 <b（复希尔伯特空间 H 上的有界线性算子）被称为如果存在希尔伯特空间 K、H 到 K 的有界线性算子 v 以及 A 到 B(K) 的 Jordan 同态，使得对于所有 x G A，<l>(x) = v*ir(x)v。这样的映射已在 [2, 3, 5, 7, 8, 9] 中进行了研究，并且是完全正映射的自然对称化，定义为上面的 <b 与 m 同态如果。 Mn(B) 表示 C* 代数的子空间 £ 上的 n X n 矩阵，Mn(B)+ Mn(B) 的正部分，著名的 Stinespring 定理 [4] 指出映射 <j>: A -> B(H) 是完全正的当且仅当对于所有 n G N 每当 (x¡) G Mn(A)+ 则 («H*,,)) G Mn(B(H))+ 是。本注释的目的是提供可分解映射的类似特征。设 A 为 C* 代数，并且 <b 为 A 到 B(H) 的线性映射，当且仅当对于所有 n G N 属于 Mn(A)+ 时， (<t>(XlJ)) G Mn(B(H))+ 假设 <j> 为。可分解，所以形式为 v*rrv。 如果 n 是同态（或反同态）且 (xi})（或 (xj¡)) 属于 Mn(A)+ 则 (<H*,,)) G Mn(B(H))+ 由于每个 Jordan 同态都是同态和反同态之和 [6]，如果 (x¡) 和 (x„) 都属于 Mn(A)+ 。 Mn(A)+ 则 (*(*„)) G Mn(B(H))+。相反，假设 (x¡ ) 和 (xjt) G Mn(A)+ 意味着 («K-*//)) e Mn(B(H))+ 对于所有 n G N。由于当 <p 扩展到 A 的第二个对偶时，此属性仍然存在，我们可以假设 A 是单位的，并且对于某些希尔伯特空间 L，A C B(L) 。让 t 表示在 B(L) 上相对于某个正交基础转置映射。令 Ki 是包含恒等式的 M2(B(L)) 的自伴随子空间。通过 8n((Xjj)) = (xj,) 定义 0n。则 6 是 2 阶的反自同构。因此，如果由编辑于 1981 年 9 月 25 日收到，并以修订形式于 12 月 4 日收到， 1981年。1980年数学科目分类。小学46L05；中学46L50。
It is shown that a positive linear map of a C*-algebra A into B(H) is decomposable if and only if for all n G N whenever (x,j) and (*,,) belong to M„(A)+ then (<¡>(*,7)) belongs to M„(B(H))+ . A positive linear map <b of a C*-algebra A into B(H)—the bounded linear operators on a complex Hilbert space H— is said to be decomposable if there are a Hilbert space K, a bounded linear operator v of H into K, and a Jordan homomorphism it of A into B(K) such that <l>(x) = v*ir(x)v for all x G A. Such maps have been studied in [2, 3, 5, 7, 8, 9], and are the natural symmetrization of the completely positive ones, defined as those <b as above with m a homomorphism. If Mn(B) denotes the n X n matrices over a subspace £ of a C*-algebra and Mn(B)+ the positive part of Mn(B), the celebrated Stinespring theorem [4] states that a map <j>: A -> B(H) is completely positive if and only if for all n G N whenever (x¡¡) G Mn(A)+ then («H*,,)) G Mn(B(H))+. It is the purpose of the present note to provide an analogous characterization of decomposable maps. Theorem. Let A be a C*-algebra and <b a linear map of A into B(H). Then <¡> is decomposable if and only if for all n G N whenever (x,¡) and (Xj¡) belong to Mn(A)+ then (<t>(XlJ)) G Mn(B(H))+ . Proof. Suppose <j> is decomposable, so of the form v*rrv. If n is a homomorphism (resp. antihomomorphism) and (xi}) (resp. (xj¡)) belongs to Mn(A)+ then (<H*,,)) G Mn(B(H))+ . Since every Jordan homomorphism is the sum of a homomorphism and an antihomomorphism [6], if both (x¡¡) and (x„) belong to Mn(A)+ then (*(*„)) G Mn(B(H))+. Conversely suppose (x¡ ) and (xjt) G Mn(A)+ implies («K-*//)) e Mn(B(H))+ for all n G N. Since this property persists when <p is extended to the second dual of A we may assume A is unital and that A C B(L) for some Hilbert space L. Let t denote the transpose map on B(L) with respect to some orthonormal basis. Let Then Kis a self adjoint subspace of M2(B(L)) containing the identity. Define 0n on Mn(B(L)) by 8n((Xjj)) = (xj,). Then 6 is an antiautomorphism of order 2. Hence if Received by the editors September 25, 1981 and, in revised form, December 4, 1981. 1980 Mathematics Subject Classification. Primary 46L05; Secondary 46L50.