Manifolds of negative curvature
Manifolds of negative curvature
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DOI：
10.1090/s0002-9947-1969-0251664-4
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发表时间：
1969-11
影响因子：
1.3
通讯作者：
R. Bishop;B. O'neill
中科院分区：
文献类型：
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作者：
R. Bishop;B. O'neill
1.1.对于黎曼流形V，我们分别用c（V）和c~（V）表示截面曲率的上界和下界，用vol（F）表示体积，用d（V）表示直径。1.2.设V是n维负曲率闭黎曼流形，c~（V）> 1 .如果n > 8，则vol（V）> C（1 + d（V）），其中常数C > 0仅取决于n。备注。这个不等式是精确的：对于每个n，存在一个无穷序列Vi，其中d（Vi）-> oo，/ -> oo，并且具有一致有界的比率vol（Vi）jd（Vi）。证据取一个具有无穷群Hλ（V）的常负曲率流形V（见[8]）及其有限循环覆盖序列。对于n = 4，5，6，7，我们将在这里证明下列较弱的结果：vol（V）> C（l + d（V））。注意，§ 4中的论证表明，对于n > 4，n维流形V满足- ε > c（V）> c~（V）> - 1，ε > 0，满足：vol（V）> C（l + d（V）），其中C依赖于n和ε。1.3.定理1.2改进了Margulis-Heintze定理（见[6]，[4]），说明不等式vol（V）> C = Cn。在本文中，我们证明了以下推广。1.3A.设X是完备单连通负曲率流形，且c~（X）>-1.设Γ是V的等距群的离散群（可能有挠），则vol（X/Γ）> C，其中C > 0仅依赖于dim（X）。这一事实对于c~（X）>-1且Ricci曲率为负的非正曲率流形仍然成立（见[5]）。在齐次情况下，这是Kazhdan-Margulis定理（见[9]）。
1.1. For a Riemannian manifold V we denote by c(V) and c~(V) respectively the upper and the lower bounds of the sectional curvature, by vol(F) the volume, and by d(V) the diameter. 1.2. Let V be an ^-dimensional closed Riemannian manifold of negative curvature and c~(V) > 1 . If n > 8, then vol (V) > C(l + d{V)\ where the constant C > 0 depends only on n. Remark. This inequality is exact: For each n there exists an infinite sequence Vi with d(Vi) —> oo, / —> oo, and with uniformly bounded ratio vol {Vi)jd{Vi). Proof. Take a manifold V of constant negative curvature with infinite group Hλ(V) (see [8]) and a sequence of its finite cyclic coverings. For n = 4, 5, 6, 7 we shall prove here the following weaker result: vol (V) > C(l + d(V)). Notice that arguments from § 4 show that for n > 4 an ndimensional manifold V with — ε > c(V) > c~(V) > — 1, ε > 0, satisfies: vol (V) > C(l + d{V)) where C depends on n and ε. 1.3. Theorem 1.2 sharpens the Margulis-Heintze theorem (see [6], [4]) stating the inequality vol (V) > C = Cn. In this paper we prove the following generalization. 1.3A. Let X be a complete simply connected manifold of negative curvature with c~(X) > — 1. Let Γ be a discrete group (possibly with torsion) of isometries of V. Then vol(X/Γ) > C, where C > 0 depends only on dim(X). This fact is still true for manifolds of nonpositive curvature with c~(X) > — 1 and negative Ricci curvature (see [5]). In the homogeneous case this is the Kazhdan-Margulis theorem (see [9]).