Connectivity of joins, cohomological quantifier elimination, and an algebraic Toda’s theorem
Connectivity of joins, cohomological quantifier elimination, and an algebraic Toda’s theorem
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连接的连通性、上同调量词消除和代数 Toda 定理
DOI：
10.1007/s00029-020-00596-0
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发表时间：
2020
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Patel, Deepam
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Basu, Saugata;Patel, Deepam
本文利用上同调技巧得到了复杂性理论中的Toda定理在任意特征的代数闭域上有效的代数形式。这一结果源于上同调中的一般“连通性”结果。更确切地说，给定代数闭域上的闭子变量，并用X与其自身的p-重迭代并表示，我们证明了(奇异或-进等)上同调上的限制同态与是同构的，也是内射的。我们还在Xover a基方案的相对联接的更一般设置中证明了这一结果，其中Sis是有限类型Overk。我们给出了这一连通性结果的其它几个应用，包括在具有任意特征的代数闭域的一阶理论中经典量词消去的上同调版本，并得到了射影映射下射影变种的像的Betti数的有效界。
In this article, we use cohomological techniques to obtain an algebraic version of Toda’s theorem in complexity theory valid over algebraically closed fields of arbitrary characteristic. This result follows from a general ‘connectivity’ result in cohomology. More precisely, given a closed subvarietyover an algebraically closed fieldk, and denoting bythep-fold iterated join ofXwith itself, we prove that the restriction homomorphism on (singular or-adic etale) cohomology, with, is an isomorphism for, and injective for. We also prove this result in the more general setting of relative joins forXover a base schemeS, whereSis of finite type overk. We give several other applications of this connectivity result including a cohomological version of classical quantifier elimination in the first order theory of algebraically closed fields of arbitrary characteristic, and to obtain effective bounds on the Betti numbers of images of projective varieties under projection maps.
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