Critical Two-Point Function for Long-Range O(n) Models Below the Upper Critical Dimension
Critical Two-Point Function for Long-Range O(n) Models Below the Upper Critical Dimension
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高于临界维数的长程 O(n) 模型的临界两点函数
DOI：
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发表时间：
2017
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Benjamin C. Wallace
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Martin Lohmann;G. Slade;Benjamin C. Wallace
我们考虑n分量$$|varphi|联系我们|φ| 4格点自旋模型（$$nge 1$$n≥1）和$$mathbb Z^d$$Zd上的弱自回避行走（$n=0$$n=0），维数$$d= 1，2，3$$d = 1，2，3.我们研究基于分数拉普拉斯算子的长程模型，其中自旋-自旋相互作用或步进概率随着距离r衰减为$$r^{-（d+alpha）}$$r-（d+α），其中$$alpha在（0，2）$$α∈（0，2）。上临界尺寸为$$d_c= 2 α $$dc=2α。对于$$vareps>0$$ε>0，并且$$alpha = frac{1}{2}（d+ vareps）$$α=12（d+ε），维度$$d=d_c-vareps $$d=dc-ε低于上临界维度。对于小ε，弱耦合和所有整数ge 0 n ≥0，我们证明了两点函数在临界点随距离衰减为r^{-（d-alpha）} r-（d-α）.临界指数在其平均场值处的这种“粘着”现象最早在1972年的物理学文献中被预言。我们的证明是基于严格的重整化群方法。通过我们使用的集群扩展，从最近的工作中所使用的最近邻4维的情况下，不同的可观测量的治疗。
We consider the n-component $$|varphi |^4$$|φ|4 lattice spin model ($$n ge 1$$n≥1) and the weakly self-avoiding walk ($$n=0$$n=0) on $$mathbb Z^d$$Zd, in dimensions $$d=1,2,3$$d=1,2,3. We study long-range models based on the fractional Laplacian, with spin-spin interactions or walk step probabilities decaying with distance r as $$r^{-(d+alpha )}$$r-(d+α) with $$alpha in (0,2)$$α∈(0,2). The upper critical dimension is $$d_c=2alpha $$dc=2α. For $$varepsilon >0$$ε>0, and $$alpha = frac{1}{2} (d+varepsilon )$$α=12(d+ε), the dimension $$d=d_c-varepsilon $$d=dc-ε is below the upper critical dimension. For small $$varepsilon $$ε, weak coupling, and all integers $$n ge 0$$n≥0, we prove that the two-point function at the critical point decays with distance as $$r^{-(d-alpha )}$$r-(d-α). This “sticking” of the critical exponent at its mean-field value was first predicted in the physics literature in 1972. Our proof is based on a rigorous renormalisation group method. The treatment of observables differs from that used in recent work on the nearest-neighbour 4-dimensional case, via our use of a cluster expansion.