Stochastic functional linear models and Malliavin calculus
Stochastic functional linear models and Malliavin calculus
复制标题
随机函数线性模型和 Malliavin 微积分
DOI：
10.1007/s00180-021-01142-y
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发表时间：
2022
影响因子：
1.3
通讯作者：
Fang, Hong-Bin
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Fan, Ruzong;Fang, Hong-Bin
本文研究了由标准布朗运动生成的平方可积随机过程X（t）驱动的随机泛函线性模型（SFLM）.利用宏伟的伊藤积分和Malliavin演算，X（t）展开成正交多重积分的总和，即，维纳-伊藤混沌展开，这是确定性函数的泰勒展开的对应物。在此基础上，我们证明了当X（t）是多个Itô积分的有限线性组合时，X（t）的线性泛函的四阶矩以其二阶矩的平方有界.因此，当过程X（t）是多个Itô积分的线性组合时，如果相关线性算子的特征值是有序的，则SFLM的平均预测风险的最优Minimax收敛速度是有效的.证明了随机函数的多重伊藤积分的四阶矩有限的一个充要条件，这是泛函线性回归方法论和收敛速度中的一个关键条件.我们的结果表明，最优的极小极大收敛速度的平均预测风险可以应用到类的线性组合的多个Itô积分，不一定是高斯过程。此外，多重Itô积分的有限四阶矩的充要条件可直接用于证明泛函线性模型的方法和收敛速度.利用随机分析理论，可以构造与平方可积随机过程相关联的再生核希尔伯特空间（RKHS），以便于分析函数数据。
In this article, we study stochastic functional linear models (SFLM) driven by an underlying square integrable stochastic processX(t) which is generated by a standard Brownian motion. Utilizing the magnificent Itô integrals and Malliavin calculus,X(t) is expanded into a summation of orthogonal multiple integrals, i.e., Wiener-Itô chaos expansions, which is the counterpart of the Taylor expansion of deterministic functions. Based on the expansion, we show that the fourth moments of linear functionals of underlying stochastic processX(t) are bounded by the square of their second moments whenX(t) is a finite linear combination of multiple Itô integrals. Therefore, an optimal minimax convergence rate in mean prediction risk of SFLM is valid if eigenvalues of related linear operators are of orderby using results in literature when the underlying processX(t) is a linear combination of multiple Itô integrals. A sufficient and necessary condition of finite fourth moment of random functions of multiple Itô integrals is proved, which is a key condition in methodology and convergence rates of functional linear regressions. Our results show that the optimal minimax convergence rate in mean prediction risk can be applied to the class of linear combination of multiple Itô integrals which are not necessarily Gaussian processes. Moreover, the sufficient and necessary condition of finite fourth moment for multiple Itô integrals can be directly applied to show methodology and convergence rates of functional linear models. Using the theory of stochastic analysis, one may construct a reproducing kernel Hilbert space (RKHS) associated with a square integrable stochastic process to facilitate analysis of functional data.
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影响因子：
4
作者：
D. Nualart
通讯作者：
D. Nualart
DOI：
10.1080/01621459.2017.1356320
发表时间：
2018-01-01
影响因子：
3.7
作者：
Sun, Xiaoxiao;Du, Pang;Ma, Ping
通讯作者：
Ma, Ping
DOI：
10.1111/j.2517-6161.1978.tb01050.x
发表时间：
1978-07
期刊：
Journal of the royal statistical society series b-methodological
影响因子：
--
作者：
G. Wahba
通讯作者：
G. Wahba
影响因子：
4.5
作者：
Crambes, Christophe;Kneip, Alois;Sarda, Pascal
通讯作者：
Sarda, Pascal