SOME NEW FINITE DIFFERENCE METHODS FOR HELMHOLTZ EQUATIONS ON IRREGULAR DOMAINS OR WITH INTERFACES.
SOME NEW FINITE DIFFERENCE METHODS FOR HELMHOLTZ EQUATIONS ON IRREGULAR DOMAINS OR WITH INTERFACES.
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DOI：
10.3934/dcdsb.2012.17.1155
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发表时间：
2012-06
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Li Z
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Wan X;Li Z
求解Helmholtz方程Δu + λu = f的有效性对于许多应用来说是一个挑战。例如，许多求解不可压Navier-Stokes方程的有效方法的核心部分是求解一个或多个Helmholtz方程。本文提出了两种新的有限差分方法，用于求解不规则区域上的Helmholtz方程和含界面的Helmholtz方程。对于不规则区域上的Helmholtz方程，当λ值较大时，用现有的增广浸入界面法（AIIM）得到的数值解的精度会下降.在我们的新方法中，我们使用一个水平集函数来扩展源项和偏微分方程到一个更大的域之前，我们应用AIIM。对于含界面的Helmholtz方程，提出了一种新的保极大值原理的差分方法.新方法仍然使用标准的五点模板，并对不规则网格点的有限差分格式进行了修改。所得的系数矩阵的线性系统的有限差分方程满足的离散最大值原理的符号属性，可以有效地解决使用多重网格求解器。有限差分法也被扩展到处理时间离散方程，其中解系数λ与网格尺寸成反比。
Solving a Helmholtz equation Δu + λu = f efficiently is a challenge for many applications. For example, the core part of many efficient solvers for the incompressible Navier-Stokes equations is to solve one or several Helmholtz equations. In this paper, two new finite difference methods are proposed for solving Helmholtz equations on irregular domains, or with interfaces. For Helmholtz equations on irregular domains, the accuracy of the numerical solution obtained using the existing augmented immersed interface method (AIIM) may deteriorate when the magnitude of λ is large. In our new method, we use a level set function to extend the source term and the PDE to a larger domain before we apply the AIIM. For Helmholtz equations with interfaces, a new maximum principle preserving finite difference method is developed. The new method still uses the standard five-point stencil with modifications of the finite difference scheme at irregular grid points. The resulting coefficient matrix of the linear system of finite difference equations satisfies the sign property of the discrete maximum principle and can be solved efficiently using a multigrid solver. The finite difference method is also extended to handle temporal discretized equations where the solution coefficient λ is inversely proportional to the mesh size.
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