Strong Orthogonality between the Möbius Function and Nonlinear Exponential Functions in Short Intervals
Strong Orthogonality between the Möbius Function and Nonlinear Exponential Functions in Short Intervals
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莫比乌斯函数与短区间非线性指数函数之间的强正交性
DOI：
10.1093/imrn/rnv091
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发表时间：
2014
影响因子：
1
通讯作者：
Bingrong Huang
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Bingrong Huang
设$\mu（n）$是M\“obius函数，$e（z）= \exp（2\pi iz）$，$x$真实的和$2\leq y \leq x$.本文证明了两个序列$（\mu（n））$和$（e（n^k \alpha））$在短区间内是强正交的。也就是说，如果$k \geq 3$是固定的，$y\geq x^{1-1/4+\vareps}$，那么对于任何$A>0$，我们有\[
\sum_{x< n \leq x+y} \mu（n）e\left（n^k \alpha \right）\ll y（\log y）^{-A} \]对于\mathbb{R}$中的$\alpha \是一致的。
Let $\mu(n)$ be the M\"obius function, $e(z) = \exp(2\pi iz)$, $x$ real and $2\leq y \leq x$. This paper proves two sequences $(\mu(n))$ and $(e(n^k \alpha))$ are strongly orthogonal in short intervals. That is, if $k \geq 3$ being fixed and $y\geq x^{1-1/4+\varepsilon}$, then for any $A>0$, we have \[
\sum_{x< n \leq x+y} \mu(n) e\left(n^k \alpha \right) \ll y(\log y)^{-A} \] uniformly for $\alpha \in \mathbb{R}$.