MDS Codes With Galois Hulls of Arbitrary Dimensions and the Related Entanglement-Assisted Quantum Error Correction
MDS Codes With Galois Hulls of Arbitrary Dimensions and the Related Entanglement-Assisted Quantum Error Correction
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DOI：
10.1109/tit.2021.3117562
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发表时间：
2021-12
影响因子：
2.5
通讯作者：
Meng Cao
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Meng Cao
让 $q=p^{e}$ 成为一个质数大国 $\ell $ 是一个带有 $0\leq \ell \leq e-1$ ． The $\ell $ 经典线性码的伽罗瓦壳是欧几里得壳和厄米壳的推广。给出了GRS码或扩展GRS码的码字属于其码字的一个充要条件 $\ell $ -伽罗瓦对偶码，推广了文献中的欧几里得情况和厄米情况。通过使用四个不同的工具：1)从的范数映射 $\mathbb {F}_{q}^{\ast }$ 到 $\mathbb {F}_{p^{\ell }}^{\ast }$ ； 2)两个环子群的直积；3)环群的协集分解；的加性子群 $\mathbb {F}_{q}$ 以及它的余集，我们构造了十一个族 $q$ -任意MDS代码 $\ell $ -任意尺寸的伽罗瓦船体，并给出相关的十一族 $[[n,k,d;c]]_{q}$ 最小距离较大的纠缠辅助量子纠错码（EAQECCs） $2d=n-k+2+c$ ． 我们展示了发展理论 $\ell $ 伽罗瓦的船体 $q$ 本文中任意的MDS代码使我们能够获得新的 $q$ 不同类型的eaqecc通过不同的长度集 $\ell $ ，其中 $2\ell \mid e$ ．
Let $q=p^{e}$ be a prime power and $\ell $ be an integer with $0\leq \ell \leq e-1$ . The $\ell $ -Galois hull of classical linear codes is a generalization of the Euclidean hull and Hermitian hull. We provide a necessary and sufficient condition under which a codeword of a GRS code or an extended GRS code belongs to its $\ell $ -Galois dual code, generalizing both the Euclidean case and Hermitian case in the literature. By using four different tools: 1) the norm mapping from $\mathbb {F}_{q}^{\ast }$ to $\mathbb {F}_{p^{\ell }}^{\ast }$ ; 2) the direct product of two cyclic subgroups; 3) the coset decomposition of a cyclic group; 4) an additive subgroup of $\mathbb {F}_{q}$ and its cosets, we construct eleven families of $q$ -ary MDS codes with $\ell $ -Galois hulls of arbitrary dimensions, and give the related eleven families of $[[n,k,d;c]]_{q}$ entanglement-assisted quantum error-correcting codes (EAQECCs) with relatively large minimum distance in the sense that $2d=n-k+2+c$ . We show that developing the theory on $\ell $ -Galois hulls of $q$ -ary MDS codes in this paper enables us to obtain new $q$ -ary EAQECCs with different kinds of length sets via different $\ell $ , where $2\ell \mid e$ .