Differential operators on the superline, Berezinians, and Darboux transformations
Differential operators on the superline, Berezinians, and Darboux transformations
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超直线、Berezinian 和 Darboux 变换上的微分算子
DOI：
10.1007/s11005-017-0958-7
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发表时间：
2017
影响因子：
1.2
通讯作者：
Voronov, Theodore
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Li, Simon;Shemyakova, Ekaterina;Voronov, Theodore
我们考虑维数为1的超流形上的微分算子。我们将非退化算子定义为在‘超导数’ d的展开式中具有可逆顶系数的算子（它是移位发生器的平方根，偶变量的偏导数，借助奇数不定式）。它们与普通微分算子非常相似。我们证明了每一个非简并算子都可以用“超朗斯基量”（它是一定的贝列兹尼亚量）来表示。我们将此应用于达布变换，证明了任意非简并算子的每一个DT都是初等一阶变换的复合。因此，每个DT对应于源算子的不变子空间，并且，在这个子空间中选择一个基，可以用一个超级朗斯基公式表示。我们还考虑修饰变换，即DT对非简并算子系数的影响。我们通过实例计算这些变换，并给出一些一般性的结论。
We consider differential operators on a supermanifold of dimension 1|1. We define non-degenerate operators as those with an invertible top coefficient in the expansion in the ‘superderivative’D(which is the square root of the shift generator, the partial derivative in an even variable, with the help of an odd indeterminate). They are remarkably similar to ordinary differential operators. We show that every non-degenerate operator can be written in terms of ‘super Wronskians’ (which are certain Berezinians). We apply this to Darboux transformations (DTs), proving that every DT of an arbitrary non-degenerate operator is the composition of elementary first-order transformations. Hence every DT corresponds to an invariant subspace of the source operator and, upon a choice of basis in this subspace, is expressed by a super Wronskian formula. We consider also dressing transformations, i.e., the effect of a DT on the coefficients of the non-degenerate operator. We calculate these transformations in examples and make some general statements.
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DOI：
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发表时间：
2000
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--
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A. Veselov
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A. Shabat
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V. Shander
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通讯作者：
shemyake