The distribution of integers with a divisor in a given interval
The distribution of integers with a divisor in a given interval
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DOI：
10.4007/annals.2008.168.367
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发表时间：
2004-01
影响因子：
4.9
通讯作者：
Kevin Ford
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kevin Ford
我们确定了H（x;y;z）的数量级，即对于所有x；y和z，在（y;z）中有一个除数的整数个数。我们还研究了Hr(x;y;z)，即在（y;z）中恰好有r个除数的整数个数。当r = 1时，我们建立了h1 （x;y;z）的数量级。Z满足zx1 =2 "对于每个r 2， C > 1和“> 0”，我们一致地确定Hr（x;y;z）的数量级，对于y大和y +y=(logy) log41“z min（y C;x 1=2”）。作为这些界限的结果，我们解决了Erd} os的一个1960猜想和Tenenbaum的一些猜想。这些证明的一个关键要素是关于一致阶统计量分布的一个新结果。
We determine the order of magnitude of H(x;y;z), the number of integers n x having a divisor in (y;z], for all x;y and z. We also study Hr(x;y;z), the number of integers n x having exactly r divisors in (y;z]. Whenr = 1 we establish the order of magnitude ofH1(x;y;z) for allx;y;z satisfying z x 1=2 " . For every r 2, C > 1 and " > 0, we determine the order of magnitude of Hr(x;y;z) uniformly for y large and y +y=(logy) log 4 1 " z min(y C ;x 1=2 " ). As a consequence of these bounds, we settle a 1960 conjecture of Erd} os and some conjectures of Tenenbaum. One key element of the proofs is a new result on the distribution of uniform order statistics.