Zur Theorie der Siegelschen Modulgruppe
Zur Theorie der Siegelschen Modulgruppe
复制标题
西格尔模块化集团理论
DOI：
10.1007/bf01360285
复制
发表时间：
1965
影响因子：
1.4
通讯作者：
J. Mennicke
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
J. Mennicke
1. Die Siegelsehe Modulgruppe Sp (2n, Z)(n> 1) 位于 neuerer Zeit Gegenstand mehrerer Untersuehungen gewesen 中。 E. GOTTSCm~ I~ G [2] hat fir n-----2 einen Fundamentalbereieh explizit aufgestellt。 H. KL~ Gv. N [4] hat sodann fir n~ 2 定义关系。在 der vorliegenden Arbeit mSehten wir einen weiteren Beitrag liefern，der sieh ebenfalls auf die Struktur der Siegelsehen Modulgruppe als 抽象 Gruppe bezieht。 Wir werden versuehen，die homomorphen Bilder yon Sp (2 n, Z) zu bestimmen。 Es wird sich zeigen, dal] abgesehen yon der Faktorgruppe nagh dem Zentrum alle eehten Faktorgruppen yon Sp (2n, Z) endliehe Ordnung haben und Faktorgruppen yon Kongruenzfaktorgruppen sind。 Daraus Fogt dann die Aussage：Jede Untergruppe yon endliehem Index in Sp (2n, Z) enth〜lteine voile Kongruenzuntergruppe。 Der Beweis dieser Aussagen ist verh~ ltnism~ Big einfaeh, wenngleieh insbesondere im Hinblick auf andere Koeffizientenbereiche noch keineswegs befriedigend. Unser Beweis besteht im wesentliehen darin, die Methoden der beiden Arbeiten [1] 和 [6] 纤维线线 Gruppe SL (n, Z) 和 Gruppe Sp (2n, Z) zu fibretragen。 Die Verhgltnisse sind komplizierter: die Gruppe S'p (2n, Z) ist nicht so,, homo" wie die Gruppe SL (n, Z). Bezfiglich des Koeffizientenbereiehs ist folgendes zu bemerken. Der Beweis beruht in seinem Kern auf zwei Aussagen. Die eine geht auf J. BREI~ NER [1] zurfick und hat zum Inhalt, daft jeder Normaltefler in einer hinreichend,, homoen" Matrizengruppe eine gewisse Normalmatrix enth~ lt.我们知道 Euklidischen 算法的存在和纤维化是基于 Euklidischem 算法的。在使用正常矩阵时，请注意，正常矩阵是有效的。在 Koeffizientenbereieh voraus 中设置纤维的 Kenntnisse 算术，并在 Primideale 和 Faktorringe des Koeffizientenrings 中进行设置。 Er l~ Bt sieh z。 B. leieht ffihren，wenn man im Ring Z der ganzrationalen Zahlen den Diriehletschen Satz 纤维 Prim~。 ahlen in arithmetischen Progressionen verwendet. Es ist sehr wahrseheinlich, dab man die zweite Aussage auf Ma~imalordnungen in algebraischen ZahlkSrpern Fibertragen kann.
1. Die Siegelsehe Modulgruppe Sp (2n, Z)(n> 1) ist in neuerer Zeit Gegenstand mehrerer Untersuehungen gewesen. E. GOTTSCm~ I~ G [2] hat ffir n-----2 einen Fundamentalbereieh explizit aufgestellt. H. KL~ Gv. N [4] hat sodann ffir n~ 2 definierende Relationen angegeben. In der vorliegenden Arbeit mSehten wir einen weiteren Beitrag liefern, der sieh ebenfalls auf die Struktur der Siegelsehen Modulgruppe als abstrakte Gruppe bezieht. Wir werden versuehen, die homomorphen Bilder yon Sp (2 n, Z) zu bestimmen. Es wird sich zeigen, dal] abgesehen yon der Faktorgruppe nagh dem Zentrum alle eehten Faktorgruppen yon Sp (2n, Z) endliehe Ordnung haben und Faktorgruppen yon Kongruenzfaktorgruppen sind. Daraus folgt dann die Aussage: Jede Untergruppe yon endliehem Index in Sp (2n, Z) enth~ lt eine voile Kongruenzuntergruppe. Der Beweis dieser Aussagen ist verh~ ltnism~ Big einfaeh, wenngleieh insbesondere im Hinblick auf andere Koeffizientenbereiche noch keineswegs befriedigend. Unser Beweis besteht im wesentliehen darin, die Methoden der beiden Arbeiten [1] und [6] fiber die volle lineare Gruppe SL (n, Z) auf die Gruppe Sp (2n, Z) zu fibertragen. Die Verhgltnisse sind komplizierter: die Gruppe S'p (2n, Z) ist nicht so,, homogen" wie die Gruppe SL (n, Z). Bezfiglich des Koeffizientenbereiehs ist folgendes zu bemerken. Der Beweis beruht in seinem Kern auf zwei Aussagen. Die eine geht auf J. BREI~ NER [1] zurfick und hat zum Inhalt, daft jeder Normaltefler in einer hinreichend,, homogenen" Matrizengruppe eine gewisse Normalmatrix enth~ lt. Der Beweis benutzt die Existenz eines Euklidischen Algorithmus und fibertr~ gt sich unmittelbar nur auf Hauptidealringe mit Euklidischem Algorithmus. Die zweite Aussage kennzeiehnet Normaltefler, die eine gewisse Normalmatrix enthalten. Der Beweis setzt einige Kenntnisse fiber die Arithmetik in dem Koeffizientenbereieh voraus, etwa fiber die Primideale und die Faktorringe des Koeffizientenrings. Er l~ Bt sieh z. B. leieht ffihren, wenn man im Ring Z der ganzrationalen Zahlen den Diriehletschen Satz fiber Prim~. ahlen in arithmetischen Progressionen verwendet. Es ist sehr wahrseheinlich, dab man die zweite Aussage auf Ma~ imalordnungen in algebraischen ZahlkSrpern fibertragen kann.