A functional law of the iterated logarithm for weakly hypoelliptic diffusions at time zero
A functional law of the iterated logarithm for weakly hypoelliptic diffusions at time zero
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零时弱亚椭圆扩散的迭代对数泛函定律
DOI：
10.1016/j.spa.2022.03.012
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发表时间：
2022
影响因子：
1.4
通讯作者：
Herzog, David P.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Carfagnini, Marco;Földes, Juraj;Herzog, David P.
研究了随机微分方程解在时间趋于零时的几乎处处性态。我们的主要一般性结果建立了一个泛函的重对数律（LIL），它适用于退化噪声的随机微分方程满足弱Hörmander条件，但不满足强Hörmander条件.也就是说，在偏微分方程中，为了得出亚椭圆率的结论，必须使用漂移项。作为这一结果的推论，我们得到了几乎肯定的行为，因为时间去到零的方程中的一个给定的方向，即使噪音是不存在明确的方向。用于证明的主要结果的技术是基于大偏差施加到一个非平凡的原系统的重新缩放。在具体的例子中，我们展示了如何找到适当的重标度，以获得功能LIL。此外，我们将主要结果应用于亚椭圆扩散的正则点的识别问题。因此，我们得到了一个控制理论的标准，使一个给定的点是正则的过程。
We study the almost sure behavior of solutions of stochastic differential equations (SDEs) as time goes to zero. Our main general result establishes a functional law of the iterated logarithm (LIL) that applies in the setting of SDEs with degenerate noise satisfying theweak Hörmander conditionbut not thestrong Hörmander condition. That is, SDEs in which the drift terms must be used in order to conclude hypoellipticity. As a corollary of this result, we obtain the almost sure behavior as time goes to zero of a given direction in the equation, even if noise is not present explicitly in that direction. The techniques used to prove the main results are based on large deviations applied to a non-trivial rescaling of the original system. In concrete examples, we show how to find the proper rescaling to obtain the functional LIL. Furthermore, we apply the main results to the problem of identifying regular points for hypoelliptic diffusions. Consequently, we obtain a control-theoretic criteria for a given point to be regular for the process.
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