On the distribution for sums of partial quotients in continued fraction expansions
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DOI：
10.1088/0951-7715/24/4/009
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发表时间：
2011-04
期刊：
影响因子：
1.7
通讯作者：
Jun Wu;Jian Xu
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Jun Wu;Jian Xu
设x ∈ [0，1）和[a1（x），a2（x），.]是x的连分式展开式。对于任何n = 1，请写入。Khintchine（1935）数学1 361-82）证明了，收敛于关于的测度，其中表示一维勒贝格测度。菲利普（1988年）。数学105 195-206）表明，不存在一个合理的归一化序列，使得满足强大数定律。在本文中，我们证明了对任何α ≠ 0，集合的Hausdorff维数为1。此外，我们证明了由实数组成的集合的Hausdorff维数是1，其中实数的部分幂和以给定的多项式速率增长。
Let x ∊ [0, 1) and [a1(x), a2(x), …] be the continued fraction expansion of x. For any n ⩾ 1, write . Khintchine (1935 Compos. Math. 1 361–82) proved that converges in measure to with respect to , where denotes the one dimensional Lebesgue measure. Philipp (1988 Monatsh. Math. 105 195–206) showed that there is not a reasonable normalizing sequence such that a strong law of large numbers is satisfied. In this paper, we show that for any α ⩾ 0, the set is of Hausdorff dimension 1. Furthermore, we prove that the Hausdorff dimension of the set consisting of reals whose sums of partial quotients grow at a given polynomial rate is 1.