Large time behavior of ODE type solutions to parabolic \begin{document}$ p $\end{document}-Laplacian type equations
Large time behavior of ODE type solutions to parabolic \begin{document}$ p $\end{document}-Laplacian type equations
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抛物线 egin{document}$ p $end{document}-拉普拉斯型方程的 ODE 型解的大时间行为
DOI：
10.3934/cpaa.2020199
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发表时间：
2020
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
R. Sato
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Junyong Eom;R. Sato
令 \begin{document}$ u $\end{document} 为非线性扩散方程柯西问题的解 \begin{document}$ \begin{equation*} \begin{cases} \partial_t u = \mathrm{div}\, (|\nabla u|^{p-2} \nabla u) + u^\alpha & \quad\mathrm{in}\quad{\bf R}^N\times(0, \infty), \\ u(x, 0) = \lambda+\varphi(x) & \quad\mathrm{in}\quad{\bf R}^N, \end{cases} \end{方程*} $\end{document} 其中 \begin{document}$ N \ge 1 $\end{document} , \begin{document}$ 2N/(N+1) , \begin{document}$ \alpha \in (-\infty, 1) $\end{document} 、 \begin{document}$ \lambda>0 $\end{document} 和 \begin{document}$ \varphi\in BC({\bf R}^N)\, \cap\, L^1({\bf R}^N) $\end{document} 和 \begin{document}$ \varphi\geq0 $\end{document} 在\begin{文档}$ {\bf R}^{N} $\end{文档} 。那么解 \begin{document}$ u $\end{document} 的行为类似于 ODE \begin{document}$ \zeta' = \zeta^\alpha $\end{document} in \begin{document}$ (0, \infty) $\end{document} 的正解。在本文中，我们证明解决方案 \begin{document}$ u $\end{document} 的大时间行为是通过重新调整的 Barenblatt 解决方案来描述的。
Let \begin{document}$ u $\end{document} be a solution to the Cauchy problem for a nonlinear diffusion equation \begin{document}$ \begin{equation*} \begin{cases} \partial_t u = \mathrm{div}\, (|\nabla u|^{p-2} \nabla u) + u^\alpha & \quad\mathrm{in}\quad{\bf R}^N\times(0, \infty), \\ u(x, 0) = \lambda+\varphi(x) & \quad\mathrm{in}\quad{\bf R}^N, \end{cases} \end{equation*} $\end{document} where \begin{document}$ N \ge 1 $\end{document} , \begin{document}$ 2N/(N+1) , \begin{document}$ \alpha \in (-\infty, 1) $\end{document} , \begin{document}$ \lambda>0 $\end{document} and \begin{document}$ \varphi\in BC({\bf R}^N)\, \cap\, L^1({\bf R}^N) $\end{document} with \begin{document}$ \varphi\geq0 $\end{document} in \begin{document}$ {\bf R}^{N} $\end{document} . Then the solution \begin{document}$ u $\end{document} behaves like a positive solution to ODE \begin{document}$ \zeta' = \zeta^\alpha $\end{document} in \begin{document}$ (0, \infty) $\end{document} . In this paper we show that the large time behavior of the solution \begin{document}$ u $\end{document} is described by a rescaled Barenblatt solution.