Extension and Restriction Principles for the HRT Conjecture
Extension and Restriction Principles for the HRT Conjecture
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HRT猜想的扩展和限制原理
DOI：
10.1007/s00041-018-09661-x
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发表时间：
2019
影响因子：
1.2
通讯作者：
Okoudjou, Kasso A.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Okoudjou, Kasso A.
HRT(Heil-Ramanathan-Topiwala)猜想是问非零平方可积函数的时频移位的有限集合是否线性无关。即使在假设函数是光滑的情况下，这一长期存在的猜想在很大程度上仍然是开放的。尽管如此，对于某些特殊的函数族和/或特殊的点集，这个猜想已经被证明。本文的主要贡献是在以下基础上对HRT猜想进行了归纳研究。假设对于给定的一组N点和给定的函数，HRT为真。我们识别所有新点的集合，使得猜想对于相同的函数和通过将这些新点中的一个添加到原始集合而得到的点集仍然成立。为了实现这一点，我们引入了一个实值函数，当HRT为真时，该函数的全局极大值描述。为了激励这种新的方法，我们重新推导出3点集合的HRT的一个特殊情况。随后，我们建立了(1，n)构型中点的新结果，以及对称(2，3)构型族的新结果。此外，我们利用这些结果和其他已知结果的改进证明了HRT对于某些4点的族是成立的。
The HRT (Heil–Ramanathan–Topiwala) conjecture asks whether a finite collection of time-frequency shifts of a non-zero square integrable function onis linearly independent. This longstanding conjecture remains largely open even in the case when the function is assumed to be smooth. Nonetheless, the conjecture has been proved for some special families of functions and/or special sets of points. The main contribution of this paper is an inductive approach to investigate the HRT conjecture based on the following. Suppose that the HRT is true for a given set ofNpoints and a given function. We identify the set of all new points such that the conjecture remains true for the same function and the set ofpoints obtained by adding one of these new points to the original set. To achieve this we introduce a real-valued function whose global maximizers describe when the HRT is true. To motivate this new approach we re-derive a special case of the HRT for sets of 3 points. Subsequently, we establish new results for points in (1,n) configurations, and for a family of symmetric (2, 3) configurations. Furthermore, we use these results and the refinements of other known ones to prove that the HRT holds for certain families of 4 points.
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