On the Coates–Sinnott Conjecture
On the Coates–Sinnott Conjecture
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关于科茨-辛诺特猜想
DOI：
10.1002/mana.200810802
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发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
C. Popescu
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
C. Popescu
在[5]中，Coates 和 Sinnott 提出了一个影响深远的猜想，将与全实数域的阿贝尔扩张 F/k 相关的 S 原初、伽罗瓦等变 L 函数 θF/k,S 的偶数 n ≥ 2 的值 θF/k,S (1 — n) 与偶 Quillen K 的群环 ℤ[G (F/k)] 上的歼灭子联系起来‐群 K2n–2 (OF) 与顶域 F 的整数环 OF 相关联。在同一篇论文中，Coates 和 Sinnott 本质上证明了 ? ‐adic étale 猜想的上同调版本，其中 K2n–2(OF) 被 H2 et (OF [1/? ], ℤ(n)) 取代，对于所有素数 ? > 2，假设 k = ℚ。 Cornacchia–Østvaer [7] 在特定情况下以及 Kurihara [14] 在特定情况下对 k = ℚ 的结果进行了细化，涉及拟合理想而不是 H2et 的歼灭子 (OF [1/?], ℤ?(n))。最近，Burns 和 Greither [3] 证明了对于任意完全实数基域 k 的相同类型的改进（涉及 étale 上同调群的拟合理想），但在 Iwasawa μ 不变量 μF,？所有奇素数都消失？在本文中，我们研究了任意全实数基域 k 的一类阿贝尔扩张，例如，包括类型 k (z p m )+/k 的实分圆扩张的子扩张，其中 p 是奇素数。对于此类扩展，我们证明了 Coates-Sinnott 猜想的 étale 上同调版本的类似改进，并且对于所讨论的 Iwasawa μ 不变量没有消失假设。我们的证明方法与[3]、[14]和[7]中采用的方法不同。我们以 Greither 在 [10] 和 Wiles 在 [23] 和 [22] 中在布鲁默猜想的背景下提出的想法为基础。如果奎伦-利希滕鲍姆猜想被证明（并且证明似乎触手可及），那么对于所有 n ≥ 2、所有 i = 1,2 和所有素数 ?，我们就有规范的 ℤ?[G (F/k)]-模同构。 > 2，在上述情况和各种假设下，所有这些结果都将证明科茨-辛诺特猜想的原始 K 理论版本（© 2009 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA，Weinheim）
In [5], Coates and Sinnott formulated a far reaching conjecture linking the values ΘF/k,S (1 — n) for even integers n ≥ 2 of an S ‐imprimitive, Galois‐equivariant L ‐function ΘF/k,S associated to an abelian extension F/k of totally real number fields to the annihilators over the group ring ℤ[G (F/k)] of the even Quillen K ‐groups K2n–2 (OF) associated to the ring of integers OF of the top field F. In the same paper, Coates and Sinnott essentially prove the ? ‐adic étale cohomological version of their conjecture, in which K2n–2(OF) is replaced by H2 et (OF [1/? ], ℤ(n)), for all primes ? > 2, under the hypothesis that k = ℚ. Refinements of this result for k = ℚ, involving Fitting ideals rather than annihilators of H2et (OF [1/?], ℤ?(n)), were obtained in particular cases by Cornacchia–Østvaer [7] and in general by Kurihara [14]. More recently, Burns and Greither [3] proved the same type of refinements (involving Fitting ideals of étale cohomology groups) for arbitrary totally real base fields k, but working under the very strong hypothesis that the Iwasawa μ ‐invariants μF,? vanish for all odd primes ?. In this paper, we study a class of abelian extensions of an arbitrary totally real base field k including, for example, subextensions of real cyclotomic extensions of type k (ζ p m )+/k, where p is an odd prime. For this class of extensions, we prove similar refinements of the étale cohomological version of the Coates–Sinnott conjecture, under no vanishing hypotheses for the Iwasawa μ‐invariants in question. Our methods of proof are different from the ones employed in [3], [14] and [7]. We build upon ideas developed by Greither in [10] and Wiles in [23] and [22], in the context of Brumer's Conjecture. If the Quillen–Lichtenbaum Conjecture is proved (and a proof seems tobe within reach), then we have canonical ℤ?[G (F/k)]‐module isomorphisms for all n ≥ 2, all i = 1,2, and all primes ? > 2, and all these results will yield proofs of the original K ‐theoretic version of the Coates–Sinnott Conjecture, in the cases and under the various hypotheses mentioned above (© 2009 WILEY‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim)
岩泽理论与拟合理想
DOI：
--
发表时间：
2003
期刊：
J. fur die reine und angewandte Mathematik 561
影响因子：
--
作者：
Masato Kurihara
通讯作者：
Masato Kurihara