Curious congruences for cyclotomic polynomials
Curious congruences for cyclotomic polynomials
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分圆多项式的奇怪同余式
DOI：
10.1007/s40993-022-00410-0
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发表时间：
2022
影响因子：
0.8
通讯作者：
Kaneko Hajime
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Akiyama Shigeki;Kaneko Hajime
设为第k阶分圆多项式的第k阶导数。我们感兴趣的是固定正整数n的值。D. H. Lehmer证明了它是Euler函数和Jordan函数的多项式，并给出了它的显式表达式。本文在不给出显式的情况下，给出了它们的多项式的一个快速证明。在最后一节中，我们推导出一些奇怪的同余式：可被整除。此外，如果大于1，则可被整除。证明依赖于一般自反多项式的一个新的组合恒等式，它给出了一个公式，该公式表示的最小多项式中的系数的a-线性组合的值。作为补充，我们用两种方法证明了的单调递增性。
Letbe thekth derivative of thenth cyclotomic polynomial. We are interested in the valuesfor fixed positive integersn. D. H. Lehmer proved thatis a polynomial of the Euler totient functionand the Jordan totient functions and gave its explicit formula. In this paper, we give a quick proof thatis a polynomial of them without giving the explicit form. In the final section, we deduce some curious congruences:is divisible by. Moreover, ifkis greater than 1, thenis divisible by. The proof depends on a new combinatorial identity for general self-reciprocal polynomials over, which gives rise to a formula that expresses the valueas a-linear combination of the coefficients in the minimal polynomial of. As a supplement, we show the monotonic increasing property ofonin two ways.
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