Monodromy of the Casimir connection of a symmetrisable Kac

对称 Kac-Moody 代数的卡西米尔连接的单向性

DOI：

10.1007/s00222-024-01242-8

发表时间：

2015

期刊：

Inventiones mathematicae

影响因子：

3.1

通讯作者：

中科院分区：

数学1区

文献类型：

作者：

Andrea Appel;V. Toledano

让 $\mathfrak {g}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> 是可对称的 Kac–Moody 代数且 $V$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> 可积 $\mathfrak {g}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math>–类别 $\mathcal {O}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 中的模块 <mml:mi>O</mml:mi> </mml：数学> </ jats：替代> </ jats：内联公式>。我们证明了 $V$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 上的（正常有序）有理卡西米尔连接的单调性 <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> 可以与 Weyl 群等变 $W$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:math> $\mathfrak {g}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math>，因此定义编织组 $\mathcal {B}_{W}$<mml:math 的操作xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> </mml：msub> </mml:math> 上 $V$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml：数学> </ jats：替代> </ jats：内联公式>。然后我们证明这个作用规范地等价于 $\mathcal {B}_{W}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 的量子 Weyl 群作用 <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> </mml：msub> </mml:math> 关于 $V$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 的量子变形 <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math>，这是一个可积的类别 $\mathcal {O}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:math> 模块 $\mathcal {V}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> 量子群 $U_{\hbar }\mathfrak {g}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>你</mml:mi> <mml:mi>ħ</mml:mi> </mml：msub> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> 使得 $\mathcal {V}/\hbar \mathcal {V}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> <mml：月>/</mml：月> <mml:mi>ħ</mml:mi> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> 与 $V$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 同构 <mml:mi>V</mml:mi> </mml：数学> </ jats：替代> </ jats：内联公式>。这扩展了第二作者的结果，该结果对 $\mathfrak {g}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 有效 <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> 半简单。

Let $\mathfrak {g}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> be a symmetrisable Kac–Moody algebra and $V$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> an integrable $\mathfrak {g}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math>–module in category $\mathcal {O}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:math>. We show that the monodromy of the (normally ordered) rational Casimir connection on $V$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> can be made equivariant with respect to the Weyl group $W$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:math> of $\mathfrak {g}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math>, and therefore defines an action of the braid group $\mathcal {B}_{W}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> on $V$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math>. We then prove that this action is canonically equivalent to the quantum Weyl group action of $\mathcal {B}_{W}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> on a quantum deformation of $V$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math>, that is an integrable, category $\mathcal {O}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:math> module $\mathcal {V}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> over the quantum group $U_{\hbar }\mathfrak {g}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>ħ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> such that $\mathcal {V}/\hbar \mathcal {V}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>ħ</mml:mi> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math> is isomorphic to $V$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:math>. This extends a result of the second author which is valid for $\mathfrak {g}$<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> semisimple.

Universal K-matrices for quantum Kac-Moody algebras

量子 Kac-Moody 代数的通用 K 矩阵

DOI： --

发表时间： 2022

期刊：

Representation Theory

影响因子： 0.6

作者：

Appel A

通讯作者：

Appel A

Monodromy of the Casimir connection of a symmetrisable Kac–Moody algebra

对称 Kac-Moody 代数的卡西米尔连接的单向性

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