Local and Global Expansion in Random Geometric Graphs
Local and Global Expansion in Random Geometric Graphs
复制标题
随机几何图中的局部和全局扩展
DOI：
10.1145/3564246.3585106
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发表时间：
2023
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Yang, Elizabeth
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Liu, Siqi;Mohanty, Sidhanth;Schramm, Tselil;Yang, Elizabeth
考虑一个随机几何二维单纯复形X，采样如下：首先，采样向量su 1，.，在Sd−1上非均匀随机;然后，对于每个三元组i，j，k∈ [n]，将{i，j，k}及其所有子集加到X上，如果且仅当ui，uj ≥ τ，ui，uk ≥ τ，并且≥ τ。我们证明了对于每个ε > 0，存在d = Θ（logn）和τ = τ（ε，d）的选择，使得X很有可能是平均退化ε的高维展开子，其中每个1-链的谱隙有界远离1/2。这是第一次证明自然分布超过2-任意小的多项式平均次数的维数扩展器和优于1/2的谱链扩展。所有以前已知的构造都是代数的。这个分布也是一个简单的复形的例子，其中的涓滴定理是近tight. Enroute，我们证明了一般的边界上的任意顶点传递图，这可能是独立的兴趣随机诱导子图的谱扩展。例如，一个推论是Sd−1上随机n-顶点几何图的第二特征值的几乎尖锐界，这在以前对于mos，dpairs是未知的。
Consider a random geometric 2-dimensional simplicial complexXsampled as follows: first, samplenvectorsu1,…,ununiformly at random on Sd−1; then, for each triplei,j,k∈ [n], add {i,j,k} and all of its subsets toXif and only if ⟨ui,uj⟩ ≥ τ, ⟨ui,uk⟩ ≥ τ, and ⟨uj,uk⟩ ≥ τ. We prove that for every ε > 0, there exists a choice ofd= Θ(logn) and τ = τ(ε,d) so that with high probability,Xis a high-dimensional expander of average degreenεin which each 1-link has spectral gap bounded away from 1/2.To our knowledge, this is the first demonstration of a natural distribution over 2-dimensional expanders of arbitrarily small polynomial average degree and spectral link expansion better than 1/2. All previously known constructions are algebraic. This distribution also furnishes an example of simplicial complexes for which the trickle-down theorem is nearly tight.En route, we prove general bounds on the spectral expansion of random induced subgraphs of arbitrary vertex transitive graphs, which may be of independent interest. For example, one consequence is an almost-sharp bound on the second eigenvalue of randomn-vertex geometric graphs on Sd−1, which was previously unknown for mostn,dpairs.The full version of this paper can be found here.
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