New constructions of weak epsilon-nets
New constructions of weak epsilon-nets
复制标题
弱epsilon网的新构造
DOI：
10.1145/777792.777813
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发表时间：
2003
影响因子：
1
通讯作者：
J. Matoušek
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
J. Matoušek
有限集？? <sup>Rd</sup>是<i>n</i>点集<i>X</i>的<i>弱e-网</i>？<b>R</b><sup><i>d</i></sup>（关于凸集）如果<i>N</i>与每个凸集K相交<i></i>，|<i>K</i> n <i>X</i>|恩。我们给出了一个替代的，可以说是更简单的，事实的证明，首先由Chazelle等人证明。[7]，<b>R</b><sup><i>d</i></sup>中的每个点集<i>X都</i>允许基数<i>为O的</i>弱e-网（<sup><i>e-d</i></sup>polylog（1/e））。此外，对于一些特殊的点集（例如，对于矩曲线上的点），我们的方法给出了实质上更好的界限。这个构造给出了一个在<i>O</i>（<i>n</i>ln（1 e））时间内构造这种弱eps-网的算法。我们还证明了，通过不同的方法，一个近线性的上界的点均匀分布的（d-1）维球。
A finite set ? ? R<sup>d</sup> is a <i>weak e-net</i> for an <i>n</i> -point set <i>X</i> ? <b>R</b> <sup> <i>d</i> </sup> (with respect to convex sets) if <i>N</i> intersects every convex set <i>K</i> with | <i>K</i> n <i>X</i> |= en. We give an alternative, and arguably simpler, proof of the fact, first shown by Chazelle et al. [7], that every point set <i>X</i> in <b>R</b> <sup> <i>d</i> </sup> admits a weak e-net of cardinality <i>O</i> (e <sup> <i>-d</i> </sup> polylog(1/e)). Moreover, for a number of special point sets (e.g., for points on the moment curve), our method gives substantially better bounds. The construction yields an algorithm to construct such weak eps-nets in time <i>O</i> ( <i>n</i> ln(1e)). We also prove, by a different method, a near-linear upper bound for points uniformly distributed on the (d--1)-dimensional sphere.