Computational Aspects of the Colorful Carathéodory Theorem
Computational Aspects of the Colorful Carathéodory Theorem
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多彩卡拉西奥多里定理的计算方面
DOI：
10.1007/s00454-018-9979-y
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发表时间：
2015
影响因子：
0.8
通讯作者：
Yannik Stein
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Wolfgang Mulzer;Yannik Stein
Letbepoint集合，每个集合在其凸包中包含原点。我们称这些集合为颜色类，我们称一个序列为彩色选择。五彩缤纷的carathacimodory定理保证了五彩缤纷的选择的存在，并且在其凸包中包含了原点。找到这样一个彩色的选择（colorfulcarathsamodory）的计算复杂性是未知的。考虑到从几个相关问题（如计算中心点）到colorfulcarathacimodory的多项式时间缩减，这一点特别有趣。我们定义了一种新的近似概念，它与colorfulcarathacriodory的多项式时间约简是兼容的：一个包含每个颜色类的大多数点的序列被称为ak-colorful choice。我们提出了一种算法，对于任何固定的，输出一个彩色的选择，其中包含原点在其凸包在多项式时间。进一步，我们考虑了colorfulcarathacimodory的一个相关问题：在最近彩色多边形问题（Ncp）中，我们给出了不一定在其凸壳中包含原点的集合。目标是找到一个彩色的选择，其凸包使到原点的距离最小。我们证明了计算ncpispls的局部最优是完全的，而计算全局最优是困难的。
Letbepoint sets, each containing the origin in its convex hull. We call these setscolor classes, and we call a sequencewith, for, acolorful choice. The colorful Carathéodory theorem guarantees the existence of acolorful choicethat also contains the origin in its convex hull. The computational complexity of finding such a colorful choice (ColorfulCarathéodory) is unknown. This is particularly interesting in the light of polynomial-time reductions from several related problems, such as computing centerpoints, toColorfulCarathéodory. We define a novel notion of approximation that is compatible with the polynomial-time reductions toColorfulCarathéodory: a sequence that contains at mostkpoints from each color class is called ak-colorful choice. We present an algorithm that for any fixed, outputs an-colorful choice containing the origin in its convex hull in polynomial time. Furthermore, we consider a related problem ofColorfulCarathéodory: in thenearest colorful polytopeproblem (Ncp), we are given setsthat do not necessarily contain the origin in their convex hulls. The goal is to find a colorful choice whose convex hull minimizes the distance to the origin. We show that computing a local optimum forNcpisPLS-complete, while computing a global optimum isNP-hard.
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