K(m,n) equations with fifth order symmetries and their integrability
K(m,n) equations with fifth order symmetries and their integrability
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具有五阶对称性的 K(m,n) 方程及其可积性
DOI：
10.1016/j.cnsns.2017.08.023
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发表时间：
2017
影响因子：
3.9
通讯作者：
Tian Kai
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Tian Kai
对于K（m，n）方程ut = Dx 3（un）+ α Dx（um），证明了所有非退化（n <$0）的五阶对称性，包括K（m1，1），K（m2，− 1/2）和K（m3，− 2），其中m1 = 0，1，2，3，m2 =− 1/2，0，1，3/2，m3 =− 2，− 1，0，1。对于K（0，− 2），K（− 1，− 2），K（− 2，− 2），K（− 1/2，− 1/2）和K（3/2，− 1/2）这五种研究较少的情形，通过它们与一些著名的可积方程的可逆联系，建立了双Hamilton结构。因此，K（m，n）方程具有五阶对称性的所有情形在双Hamilton意义下都是可积的.有趣的是，它们的哈密顿算子是Dx，Dx 3，u Dx + Dx u和Dx u Dx − 1 u Dx的线性组合，它们是Korteweg-de弗里斯和修正的Korteweg-de弗里斯方程的双哈密顿理论的基本成分。
For K (m, n) equation u t= D x 3 (u n)+ α D x (u m), all non-degenerate (n≠ 0) cases admitting fifth order symmetries are identified, including K (m 1, 1), K (m 2,− 1/2) and K (m 3,− 2), where m 1= 0, 1, 2, 3, m 2=− 1/2, 0, 1, 3/2 and m 3=− 2,− 1, 0, 1. For five less studied cases, namely K (0,− 2), K (− 1,− 2), K (− 2,− 2), K (− 1/2,− 1/2) and K (3/2,− 1/2), bi-Hamiltonian structures are established through their invertible links with some famous integrable equations. Hence, all cases, having fifth order symmetries, of K (m, n) equation are integrable in the bi-Hamiltonian sense. As an interesting observation, their Hamiltonian operators are linearly combinations of D x, D x 3, u D x+ D x u and D x u D x− 1 u D x, basic ingredients in the bi-Hamiltonian theory of Korteweg-de Vries and modified Korteweg-de Vries equations.