The seven dimensional perfect Delaunay polytopes and Delaunay simplices
The seven dimensional perfect Delaunay polytopes and Delaunay simplices
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七维完美 Delaunay 多面体和 Delaunay 单纯形
DOI：
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发表时间：
2015
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
M. D. Sikiric
中科院分区：
文献类型：
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作者：
M. D. Sikiric
对于 $R^n$ 的晶格 $L$，如果对于任何 $vin L$，我们有 $Vert v - cVert geq r$，则中心 $c$ 和半径 $r$ 的球体 $S(c,r)$ 称为 {emempty}。那么集合 $S(c,r)cap L$ 就是 {em Delaunay 多面体} $P=conv(S(c,r)cap L)$ 的顶点集。如果任何仿射变换 $phi$ 使得 $phi(P)$ 是 Delaunay 多胞形，那么 Delaunay 多胞形必然是由同位性组成的空间的等距。
完美的 Delaunay 多胞形是一种非凡的结构，仅在 $n=1$ 或 $ngeq 6$ 时才存在，并且它们最近出现在覆盖最大值的研究中。在这里，我们给出了依赖于 Erdahl 锥体的枚举的通用算法。我们在第 7 维中应用此算法，这使我们能够发现只有两个完美的 Delaunay 多胞形：$3_{21}$（根格 $mathsf{E}_7$ 中的 Delaunay 多胞形）和 Erdahl Rybnikov 多胞形。
然后，我们使用此分类来获取第 7 维中所有类型 Delaunay 单纯形的列表，并找到 11 种类型。
For a lattice $L$ of $R^n$, a sphere $S(c,r)$ of center $c$ and radius $r$ is called {em empty} if for any $vin L$ we have $Vert v - cVert geq r$. Then the set $S(c,r)cap L$ is the vertex set of a {em Delaunay polytope} $P=conv(S(c,r)cap L)$. A Delaunay polytope is called {em perfect} if any affine transformation $phi$ such that $phi(P)$ is a Delaunay polytope is necessarily an isometry of the space composed with an homothety.
Perfect Delaunay polytopes are remarkable structure that exist only if $n=1$ or $ngeq 6$ and they have shown up recently in covering maxima studies. Here we give a general algorithm for their enumeration that relies on the Erdahl cone. We apply this algorithm in dimension 7 which allow us to find that there are only two perfect Delaunay polytopes: $3_{21}$ which is a Delaunay polytope in the root lattice $mathsf{E}_7$ and the Erdahl Rybnikov polytope.
We then use this classification in order to get the list of all types Delaunay simplices in dimension 7 and found 11 types.