A note on simultaneous Diophantine approximation on planar curves
A note on simultaneous Diophantine approximation on planar curves
复制标题
关于平面曲线联立丢番图逼近的注解
DOI：
--
复制
发表时间：
2005
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
S. Velani
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
V. Beresnevich;S. Velani
令 $$mathcal{S}_{n}(psi_{1},dots,psi_{n})$$ 表示同时 $$(psi_{1},dots,psi_{n})$$- 中 $$mathbb{R}^{n}$$ 中的近似点的集合，并且 $$mathcal{S}^{*}_{n}(psi)$$ 表示 $$mathbb{R}^{n}$$ 中可乘 ψ 逼近的点的集合。令 $$mathcal{M}$$ 为 $$mathbb{R}^{n}$$ 中的流形。目的是为集合 $$ mathcal{M} cap mathcal{S}_{n}(psi_1,dots,psi_n) $$ 和 $$mathcal{M} cap mathcal{S}^{*}_{n}(psi) $$ 开发一种度量理论，类似于经典理论，其中 $$mathcal{M}$$ 是简单的 $$mathbb{R}^{n}$$。在这篇文章中，我们主要将注意力集中在 $$mathcal{M}$$ 是平面曲线 $$mathcal{C}$$ 的情况上。针对集合 $$mathcal{C} cap mathcal{S}_{2}(psi_{1},psi_{2}) $$ 和 $$mathcal{C} cap mathcal{S}^{*}_{2}(psi) $$ 建立了完整的豪斯多夫维数理论。 $$mathcal{C} cap mathcal{S}_{2}(psi_1,psi_2) $$ 获得发散的 Khintchine 类型结果；即，如果某个和发散，则 $$mathcal{C}$$ 的 $$mathcal{C} cap mathcal{S}_{2}(psi_1,psi_2) $$ 的一维勒贝格测度已满。此外，在 $$mathcal{C}$$ 是有理二次函数的情况下，两种近似类型都会获得收敛的 Khintchine 类型结果。我们对 $$mathcal{C} cap mathcal{S}_{2}(psi_1,psi_2) $$ 的结果自然地概括了 Beresnevich 等人的维度和勒贝格测量陈述。 （Mem AMS，179（846），1-91（2006））。此外，在乘法框架内，我们的 $$mathcal{C} cap mathcal{S}^{*}_{2}(psi)$$ 结果构成了此类中的第一个。
Let $$mathcal{S}_{n}(psi_{1},dots,psi_{n})$$ denote the set of simultaneously $$(psi_{1},dots,psi_{n})$$- approximable points in $$mathbb{R}^{n}$$ and $$mathcal{S}^{*}_{n}(psi)$$ denote the set of multiplicatively ψ-approximable points in $$mathbb{R}^{n}$$. Let $$mathcal{M}$$ be a manifold in $$mathbb{R}^{n}$$. The aim is to develop a metric theory for the sets $$ mathcal{M} cap mathcal{S}_{n}(psi_1,dots,psi_n) $$ and $$mathcal{M} cap mathcal{S}^{*}_{n}(psi) $$ analogous to the classical theory in which $$mathcal{M}$$ is simply $$mathbb{R}^{n}$$. In this note, we mainly restrict our attention to the case that $$mathcal{M}$$ is a planar curve $$mathcal{C}$$. A complete Hausdorff dimension theory is established for the sets $$mathcal{C} cap mathcal{S}_{2}(psi_{1},psi_{2}) $$ and $$mathcal{C} cap mathcal{S}^{*}_{2}(psi) $$. A divergent Khintchine type result is obtained for $$mathcal{C} cap mathcal{S}_{2}(psi_1,psi_2) $$; i.e. if a certain sum diverges then the one-dimensional Lebesgue measure on $$mathcal{C}$$ of $$mathcal{C} cap mathcal{S}_{2}(psi_1,psi_2) $$ is full. Furthermore, in the case that $$mathcal{C}$$ is a rational quadric the convergent Khintchine type result is obtained for both types of approximation. Our results for $$mathcal{C} cap mathcal{S}_{2}(psi_1,psi_2) $$ naturally generalize the dimension and Lebesgue measure statements of Beresnevich et al. (Mem AMS, 179 (846), 1–91 (2006)). Moreover, within the multiplicative framework, our results for $$mathcal{C} cap mathcal{S}^{*}_{2}(psi)$$ constitute the first of their type.