On limit systems for some population models with cross-diffusion
On limit systems for some population models with cross-diffusion
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DOI：
10.3934/dcdsb.2012.17.2745
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发表时间：
2012-07
影响因子：
1.2
通讯作者：
Kousuke Kuto;Yoshio Yamada
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Kousuke Kuto;Yoshio Yamada
本文讨论了以下反应扩散系统 $$ (SP) \begin{equation} \left\{\begin{array}{11} \Delta[(1+\alpha v)u]+u(a-u-cv)=0, \\ \Delta[(1+\beta u)v]+v(b-du-v)=0, \end{array} \right. \end{equation} $$ 在的有界定义域内 $\Bbb{R}^N$ 具有齐次诺伊曼边界条件或狄利克雷边界条件。我们的主要目的是了解（SP）正解的结构和交叉扩散系数的影响 $\alpha$ 和 $\beta$． 为此，我们的策略是研究正解的极限行为 $\alpha$ 或 $\beta$ 到 $\infty$ 并推导出相应的极限方程组。我们将得到的先验估计 $u$ 和 $v$ 独立于 $\beta$ （回答） $\alpha$)与小 $\alpha\ge0$ （回答） $\beta\ge0$)以防万一 $1\le N\le 3$ 在诺依曼边界条件下，我们将得到的先验估计 $u$ 和 $v$ 独立于 $\alpha$ 和 $\beta$ 以防万一 $1\le N\le 5$ 在狄利克雷边界条件下。这些先验估计使我们能够研究正解的极限行为。什么时候 $\alpha=0$ 和 $\beta\to\infty$，我们可以导出诺伊曼条件下的两个极限系统和狄利克雷条件下的一个极限系统。我们还将给出这类极限系统正解的结构的一些结果。
This paper deals with the following reaction-diffusion system $$ (SP) \begin{equation} \left\{\begin{array}{11} \Delta[(1+\alpha v)u]+u(a-u-cv)=0, \\ \Delta[(1+\beta u)v]+v(b-du-v)=0, \end{array} \right. \end{equation} $$ in a bounded domain of $\Bbb{R}^N$ with homogeneous Neumann boundary conditions or Dirichlet boundary conditions. Our main purpose is to understand the structure of positive solutions of (SP) and know the effects of cross-diffusion coefficients $\alpha$ and $\beta$. For this purpose, our strategy is to study limiting behavior of positive solutions when $\alpha$ or $\beta$ goes to $\infty$ and derive the corresponding limit systems. We will obtain a priori estimates of $u$ and $v$ independently of $\beta$ (resp. $\alpha$) with small $\alpha\ge0$ (resp. $\beta\ge0$) in case $1\le N\le 3$ under Neumann boundary conditions, while we will obtain a priori estimates of $u$ and $v$ independently of $\alpha$ and $\beta$ in case $1\le N\le 5$ under Dirichlet boundary conditions. These a priori estimates allow us to investigate limiting behavior of positive solutions. When $\alpha=0$ and $\beta\to\infty$, we can derive two limit systems for Neumann conditions and one limit system for Dirichlet conditions. We will also give some results on the structure of positive solutions for such limit systems.