Nil-clean and strongly nil-clean rings
Nil-clean and strongly nil-clean rings
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零洁净环和强零洁净环
DOI：
10.1016/j.jpaa.2015.07.009
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发表时间：
2016-02
影响因子：
0.8
通讯作者：
Zhou, Yiqiang
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Kosan, M. Tamer;Wang, Zhou;Zhou, Yiqiang
环R的元素a是零干净的，如果a= e+ B，其中e2 = e∈ R且B是幂零的，如果进一步e B= B e，则称元素a是强零干净的.环R被称为零干净（nil-clean）（分别地，强零干净）如果它的每个元素是零干净的（分别地，强零清洁）。证明了元素a是强nil-clean当且仅当a是幂等元与可交换单位之和且a-a2是幂零元;环R是强nil-clean当且仅当R/J（R）是布尔环且J（R）是nil，其中J（R）表示R的Jacobson根.详细讨论了Morita上下文、形式矩阵环和群环的强零清洁性。得到了R的理想I具有R/I强nil-clean蕴涵R强nil-clean性质的一个充要条件.最后，针对矩阵环何时是nil-clean的问题，证明了2-素环R上的矩阵环是nil-clean的当且仅当R/J（R）是布尔的且J（R）是nil的，即R是强nil-clean的.
An element a of a ring R is nil-clean if a= e+ b where e 2= e∈ R and b is a nilpotent; if further e b= b e, the element a is called strongly nil-clean. The ring R is called nil-clean (resp., strongly nil-clean) if each of its elements is nil-clean (resp., strongly nil-clean). It is proved that an element a is strongly nil-clean iff a is a sum of an idempotent and a unit that commute and a− a 2 is a nilpotent, and that a ring R is strongly nil-clean iff R/J (R) is boolean and J (R) is nil, where J (R) denotes the Jacobson radical of R. The strong nil-cleanness of Morita contexts, formal matrix rings and group rings is discussed in details. A necessary and sufficient condition is obtained for an ideal I of R to have the property that R/I strongly nil-clean implies R is strongly nil-clean. Finally, responding to the question of when a matrix ring is nil-clean, we prove that the matrix ring over a 2-primal ring R is nil-clean iff R/J (R) is boolean and J (R) is nil, ie, R is strongly nil-clean.
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