A blow‐up result for the travelling waves of the pseudo‐relativistic Hartree equation with small velocity
A blow‐up result for the travelling waves of the pseudo‐relativistic Hartree equation with small velocity
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DOI：
10.1002/mma.7416
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发表时间：
2021-04
影响因子：
2.9
通讯作者：
Qingxuan Wang
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Qingxuan Wang
在本文中，我们考虑伪相对论性Hartree方程i <$t <$=−△+m2 <$−1| X| ∗| ψ| 2 π在π 3上，研究形式为π（t，x）= eitμφ（x − v t）的行波，其中v∈ π 3表示行波速度。Fröhlich、Jonsson和Lenzmann在[Comm.Math.Phys.2007，274：1 - 30]中证明，对于|v| <1存在临界常数Nc（v），使得行波存在当且仅当0 < N < Nc（v），其中N表示粒子数。本文考虑v=（β，0，0），其中0 < β < 1，设Nc（β）=Nc（v）|v=（β，0，0）.我们发现Nc（β）关于β是Lipschitz连续的.在此基础上，我们证明了具有<$φβ <$L22 =（1−β）Nc（β）的提升基态φβ满足limβ→0+<$φβ <$H1/2→+∞ .将计算明确的爆破曲线和速率。
In this paper, we consider the pseudo‐relativistic Hartree equation i∂tψ=−△+m2ψ−1|x|∗|ψ|2ψonℝ3 and study travelling solitary waves of the form ψ(t, x) = eitμφ(x − v t) , where v∈ℝ3 denotes travelling velocity. Fröhlich, Jonsson and Lenzmann in [Comm. Math. Phys. 2007, 274:1‐30] proved that for |v|<1 there exists a critical constant Nc(v), such that the travelling waves exist if and only if 0 < N < Nc(v), where N denotes particle number. In this paper, we consider v=(β,0,0) with 0 < β < 1, and let Nc(β)=Nc(v)|v=(β,0,0) . We find that Nc(β) is Lipschitz continuity with respect to β. Based on this fact, we then prove that the boosted ground states φβ with ‖φβ‖L22=(1−β)Nc(β) satisfy limβ→0+‖φβ‖H1/2→+∞ . The explicit blow‐up profile and rate will be computed.