ASYMPTOTIC BEHAVIOUR FOR SCHR ODINGER EQUATIONS WITH A QUADRATIC NONLINEARITY IN ONE-SPACE DIMENSION
ASYMPTOTIC BEHAVIOUR FOR SCHR ODINGER EQUATIONS WITH A QUADRATIC NONLINEARITY IN ONE-SPACE DIMENSION
复制标题
一维二次非线性 SCHR ODINGER 方程的渐近行为
DOI：
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发表时间：
2001
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
P. Naumkin
中科院分区：
文献类型：
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作者：
N. Hayashi;P. Naumkin
我们考虑一维空间中具有二次非线性的薛定谔方程的柯西问题iut + 1 uxx = t juxj 2 ; u（0;x）= u 0（x）;其中2（0; 1）。从启发式的观点来看，当2（1=2; 1）时，该问题的解应该具有拟线性特征。本文证明了由于非线性项的特殊结构，对于所有2（0; 1），解不具有拟线性特征。我们还证明了，对于2（1=2; 1），如果初始数据u 0 2 H3;0 \H2;2是小的，那么解决方案有一个缓慢的时间衰减，如t = 2。对于2（0; 1=2），如果我们假设初始数据u 0是解析的并且很小，那么会发生相同的时间衰减。
We consider the Cauchy problem for the Schrodinger equation with a quadratic nonlinearity in one space dimension iut + 1 uxx = t juxj 2 ; u(0;x) = u0(x); where 2 (0; 1). From the heuristic point of view, solutions to this problem should have a quasilinear character when 2 (1=2; 1). We show in this paper that the solutions do not have a quasilinear character for all 2 (0; 1) due to the special structure of the nonlinear term. We also prove that for 2 (1=2; 1) if the initial data u0 2 H 3;0 \ H 2;2 are small, then the solution has a slow time decay such as t = 2 . For 2 (0; 1=2), if we assume that the initial data u0 are analytic and small, then the same time decay occurs.