Abstract dyadic cubes, maximal operators and Hausdorff content
Abstract dyadic cubes, maximal operators and Hausdorff content
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抽象二进立方、最大算子和 Hausdorff 内容
DOI：
10.1016/j.bulsci.2016.02.001
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发表时间：
2016
影响因子：
1.3
通讯作者：
渡辺俊一
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
齋藤洋樹,田中仁;渡辺俊一
设μ是局部有限的Borel测度，D是一族具有一定并矢结构的可测集。对于E⊂Rn和0<；α≤n，通过α维Hausdorff内容，我们表示Hμα(E)=inf∑jμ(Q J)α/n，其中下确界由抽象二进立方体的可数族{q j}⊂D取在E的所有覆盖上。本文研究了适用于D和μ的Hardy-Littlewood极大算子M Dμ的有界性，即证明了强型(p，p)不等式∫(M Dμf)p d Hμα≤2 p+2min(1，P)−(α/n)∫|f|p d Hμαforα/n<；P<；∞，和弱型(α/n，α/n)不等式Hμα({x∈Rn：m Dμf(X)>；t})≤4(n/α)α/n t−α/n∫|f|α/n d Hμα，t>；0，其中积分取Choquite意义下的积分。
Let μ be a locally finite Borel measure and D a family of measurable sets equipped with a certain dyadic structure. For E⊂ R n and 0< α≤ n, by α-dimensional Hausdorff content we mean H μ α (E)= inf∑ j μ (Q j) α/n, where the infimum is taken over all coverings of E by countable families of the abstract dyadic cubes {Q j}⊂ D. In this paper we study the boundedness of the Hardy–Littlewood maximal operator M D μ adapted to D and μ, that is, we prove the strong type (p, p) inequality∫(M D μ f) p d H μ α≤ 2 2 p+ 2 min(1, p)−(α/n)∫| f| p d H μ α for α/n< p<∞, and the weak type (α/n, α/n) inequality H μ α ({x∈ R n: M D μ f (x)> t})≤ 4 (n/α) α/n t− α/n∫| f| α/n d H μ α, t> 0, where the integrals are taken in the Choquet sense.