Intermediate C*-algebras of Cartan embeddings
Intermediate C*-algebras of Cartan embeddings
复制标题
Cartan 嵌入的中级 C* 代数
DOI：
10.1090/bproc/66
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发表时间：
2019
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Sarah Reznikoff
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
J. Brown;R. Exel;Adam H. Fuller;D. Pitts;Sarah Reznikoff
让<inline-formula content-type="math/mathml
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper A">
<mml:semantics>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
< <inline-formula content-type="math/mathml
<mml:math xmlns:mml=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML“ altttext =”上标星号”>
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mi />
<mml:mo> * <！——*——></mml:mo>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
让<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper D">
<mml:semantics>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>是<inline-formula content-type="math/mathml">的Cartan子代数
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper A">
<mml:semantics>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>。我们研究了以下问题：if <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper B">
<mml:semantics>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>是一个C<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML“ altttext =”上标星号”>
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mi />
<mml:mo> * <！——*——></mml:mo>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
<inline-formula content-type="math/mathml
<mml:math xmlns:mml=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML“ altttext =”上D的或等于上B的或等于上A的子集”>
<mml:semantics>
<mml：打开>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:mo>≤！——<s:1> ></ ml:mo>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo>≤！——<s:1> ></ ml:mo>
<mml:mi>A</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex"> \subseteq b \subseteq A</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, is <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper D">
<mml:semantics>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
<inline-formula content-type="math/mathml"的Cartan子代数
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper B">
<mml:semantics>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>？我们在两种情况下给出肯定的答案：当<inline-formula content-type="math/mathml">存在忠实的条件期望时
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper A">
<mml:semantics>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
<inline-formula content-type="math/mathml
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper B">
<mml:semantics>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper A">
<mml:semantics>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is nuclear and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper D">
<mml:semantics>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>是一个C<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML“ altttext =”上标星号”>
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mi />
<mml:mo> * <！——*——></mml:mo>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
<inline-formula content-type="math/mathml
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper A">
<mml:semantics>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>。在这两种情况下，中间C<inline-formula content-type="math/mathml">之间存在一对一的对应关系
<mml:math xmlns:mml=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML“ altttext =”上标星号”>
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mi />
<mml:mo> * <！——*——></mml:mo>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>-algebras <inline-formula content-type="math/mathml
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper B">
<mml:semantics>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>，以及groupoid <inline-formula content-type="math/mathml">的一类开放子groupoid
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="upper G">
<mml:semantics>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" altttext ="normal upper Sigma右箭头上G">
<mml:semantics>
<mml：打开>
<mml:mi mathvariant="normal">Σ<！——Σ——></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→<！——→——></mml:mo>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex\Sigma \rightarrow G</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>是与嵌入<inline-formula content-type="math/mathml">相关联的转折
<mml:math xmlns:mml=“http://www.w3.org/1998/Math/MathML“ altttext =”上D的或等于上A的子集”>
<mml:semantics>
<mml：打开>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:mo>≤！——<s:1> ></ ml:mo>
<mml:mi>A</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex"> \subseteq A</mml:annotation>
</ ml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>
<p>Let <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A">
<mml:semantics>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> be a C<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Superscript asterisk">
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mi />
<mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>-algebra and let <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D">
<mml:semantics>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> be a Cartan subalgebra of <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A">
<mml:semantics>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. We study the following question: if <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B">
<mml:semantics>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is a C<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Superscript asterisk">
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mi />
<mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>-algebra such that <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D subset-of-or-equal-to upper B subset-of-or-equal-to upper A">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:mo>⊆<!-- ⊆ --></mml:mo>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:mo>⊆<!-- ⊆ --></mml:mo>
<mml:mi>A</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">D \subseteq B \subseteq A</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, is <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D">
<mml:semantics>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> a Cartan subalgebra of <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B">
<mml:semantics>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>? We give a positive answer in two cases: the case when there is a faithful conditional expectation from <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A">
<mml:semantics>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> onto <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B">
<mml:semantics>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, and the case when <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A">
<mml:semantics>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is nuclear and <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D">
<mml:semantics>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">D</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is a C<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Superscript asterisk">
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mi />
<mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>-diagonal of <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A">
<mml:semantics>
<mml:mi>A</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>. In both cases there is a one-to-one correspondence between the intermediate C<inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Superscript asterisk">
<mml:semantics>
<mml:msup>
<mml:mi />
<mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo>
</mml:msup>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">^*</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>-algebras <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B">
<mml:semantics>
<mml:mi>B</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, and a class of open subgroupoids of the groupoid <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G">
<mml:semantics>
<mml:mi>G</mml:mi>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Sigma right-arrow upper G">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi mathvariant="normal">Σ<!-- Σ --></mml:mi>
<mml:mo stretchy="false">→<!-- → --></mml:mo>
<mml:mi>G</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">\Sigma \rightarrow G</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula> is the twist associated with the embedding <inline-formula content-type="math/mathml">
<mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D subset-of-or-equal-to upper A">
<mml:semantics>
<mml:mrow>
<mml:mi>D</mml:mi>
<mml:mo>⊆<!-- ⊆ --></mml:mo>
<mml:mi>A</mml:mi>
</mml:mrow>
<mml:annotation encoding="application/x-tex">D \subseteq A</mml:annotation>
</mml:semantics>
</mml:math>
</inline-formula>.</p>