Estimates for measures of lower dimensional sections of convex bodies
Estimates for measures of lower dimensional sections of convex bodies
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DOI：
10.1016/j.aim.2016.10.035
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发表时间：
2015-12
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Giorgos Chasapis;A. Giannopoulos;Dimitris-Marios Liakopoulos
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Giorgos Chasapis;A. Giannopoulos;Dimitris-Marios Liakopoulos
我们对 Koldobsky 关于对称凸体截面测量的一些结果提出了另一种方法，这使我们能够将它们扩展到不一定对称的设置。我们证明，如果 K 是 R n 中的凸体，其中 0ε int (K) 并且 μ 是 R n 上的测度，且 R n 上具有局部可积的非负密度 g，则 μ (K)≤(c n− k) k max F∈ G n, n− k μ (K∩ F)⋅| K| k n 对于每个 1≤ k≤ n− 1。此外，如果 μ 是偶数且对数凹，并且如果 K 是 R n 中的对称凸体，并且 D 是 R n 的紧子集，使得对于所有 F∈ G n, n− k 而言 μ (K∩ F)≤ μ (D∩ F)，则 μ (K)≤(ck L n− k) k μ (D)，其中 L s 是 R 中凸体的最大各向同性常数s。我们的方法采用广义 Blaschke-Petkantschin 公式并估计对偶仿射 quemassintegrals。
We present an alternative approach to some results of Koldobsky on measures of sections of symmetric convex bodies, which allows us to extend them to the not necessarily symmetric setting. We prove that if K is a convex body in R n with 0∈ int (K) and μ is a measure on R n with a locally integrable non-negative density g on R n, then μ (K)≤(c n− k) k max F∈ G n, n− k μ (K∩ F)⋅| K| k n for every 1≤ k≤ n− 1. Also, if μ is even and log-concave, and if K is a symmetric convex body in R n and D is a compact subset of R n such that μ (K∩ F)≤ μ (D∩ F) for all F∈ G n, n− k, then μ (K)≤(c k L n− k) k μ (D), where L s is the maximal isotropic constant of a convex body in R s. Our method employs a generalized Blaschke–Petkantschin formula and estimates for the dual affine quermassintegrals.