Hessian metrics, CD(K,N)-spaces, and optimal transportation of log-concave measures

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Hessian 度量、CD(K,N) 空间和对数凹度量的最优传输

DOI：
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发表时间：
2012
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
A. Kolesnikov
A. Kolesnikov
中科院分区：
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文献类型：
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作者：
A. Kolesnikov

文献摘要

被引文献

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我们研究最优交通图 $ abla Phi : mathbb{R}^d 映射到 mathbb{R}^d$ 将概率测度 $mu = e^{-V} dx$ 推进到另一个概率测度 $ u = e^{-W} dx$。 遵循经典 借助 E. Calabi 的方法，我们在 $mathbb{R}^d$ 上引入黎曼度量 $g = D^2 Phi$ 并研究度量测量空间的谱特性 $M=(mathbb{R}^d, g, mu)$。 我们特别证明，如果 $V$ 和 $W$ 都是凸的，$M$ 承认非负 Bakry--Emery 张量。 如果目标衡量 $ u$ 是凸集 $Omega$ 上的勒贝格测度，$mu$ 是对数凹集，我们证明 $M$ 是 $CD(K,N)$ 空间。 这些结果的应用包括 $| 的一些全局无量纲先验估计。 D^2 Φ|$。借助黎曼流形的比较技术和概率集中论证 我们证明了一些直径估计值 M$。
We study the optimal transportation mapping $ abla Phi : mathbb{R}^d mapsto mathbb{R}^d$ pushing forward a probability measure $mu = e^{-V} dx$ onto another probability measure $ u = e^{-W} dx$. Following a classical approach of E. Calabi we introduce the Riemannian metric $g = D^2 Phi$ on $mathbb{R}^d$ and study spectral properties of the metric-measure space $M=(mathbb{R}^d, g, mu)$. We prove, in particular, that $M$ admits a non-negative Bakry--Emery tensor provided both $V$ and $W$ are convex. If the target measure $ u$ is the Lebesgue measure on a convex set $Omega$ and $mu$ is log-concave we prove that $M$ is a $CD(K,N)$ space. Applications of these results include some global dimension-free a priori estimates of $| D^2 Phi|$. With the help of comparison techniques on Riemannian manifolds and probabilistic concentration arguments we proof some diameter estimates for $M$.