Iwasawa Theory for Extensions with Restricted $p$-Ramification
Iwasawa Theory for Extensions with Restricted $p$-Ramification
复制标题
具有受限 $p$ 分支的岩泽理论
DOI：
10.3836/tjm/1244208688
复制
发表时间：
2003
影响因子：
0.6
通讯作者：
Y. Hachimori
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Y. Hachimori
设 K 为 K 的分圆 Zp 扩展，T 为 T 上的 K 的素数集。然后，通过 MT∞(K∞)，我们表示 T∞ 之外无分支的 K∞ 的最大阿贝尔 p 扩张。我们将这样的扩展称为“具有受限 p 分支的扩展”。由于 Л := Gal(K∞/K) 通过共轭作用于伽罗瓦群 YT∞(K∞) := Gal(MT∞(K∞)/K∞)，因此通常将其视为幂级数环 Λ := Zp[[T ]] 上的模。这是在Λ上有限生成的。在本文中，我们研究以下问题：YT∞(K∞) 的 Λ 阶及其 Λ 扭转部分 μ(YT∞(K∞)Λ−tor ) 的 μ 不变量是什么？当T=∅（空集）时，众所周知，根据岩泽的结果，Y（K∞）的Λ阶为零，并且推测其μ不变量消失。当 K 是阿贝尔域时，费雷罗和华盛顿 [FeWa] 验证了这一点。还知道，如果 T = P(K)，则 RankΛ(YT∞(K∞)) = r2，其中 r2 是 K 的复素数的数量。 YT∞(K∞) 的 Λ 扭转部分的 μ 不变量也被猜想为零，并证明 K 是否是交换矩阵。在 CM 场的情况下，上述问题的答案是完全已知的（参见 [JaMa]。另见下面的定理 4.5）。另一方面，对于一般基域 K 和 T ⊂ P(K)，我们有一个 Λ 秩的平凡下界（命题 2.3）：rankΛ(YT∞(K∞)) ≥ r2 − Σ
Let K∞ be the cyclotomic Zp-extension of K and T∞ ⊂ P(K∞) the set of primes above T of K∞. Then, by MT∞(K∞), we denote the maximal abelian p-extension ofK∞ unramified outside T∞. We call such an extension “the extension with restricted p-ramification”. Since Γ := Gal(K∞/K) acts on the Galois group YT∞(K∞) := Gal(MT∞(K∞)/K∞) by conjugation, it is regarded as a module over the power series ring Λ := Zp[[T ]] in the usual manner. This is finitely generated overΛ. In this article, we investigate the following question: What are the Λ-rank of YT∞(K∞) and the μ-invariant of its Λ-torsion part μ(YT∞(K∞)Λ−tor )? When T = ∅ (empty set), it is well known that Y (K∞) has Λ-rank zero by a result of Iwasawa and that it is conjectured that its μ-invariant vanishes. This is verified when K is an abelian field by Ferrero and Washington [FeWa]. It is also known that rankΛ(YT∞(K∞)) = r2 if T = P(K), where r2 is the number of complex primes of K . The μ-invariant of the Λtorsion part of YT∞(K∞) is also conjectured to be zero and proved if K is abelian. In case of CM-fields, the answer to the above question is known completely (cf. [JaMa]. See also Theorem 4.5 below). On the other hand, for a general base field K and T ⊂ P(K), we have a trivial lower bound of the Λ-rank (Proposition 2.3): rankΛ(YT∞(K∞)) ≥ r2 − ∑