Walk on Stars: A Grid-Free Monte Carlo Method for PDEs with Neumann Boundary Conditions
Walk on Stars: A Grid-Free Monte Carlo Method for PDEs with Neumann Boundary Conditions
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星上行走：具有诺伊曼边界条件的偏微分方程的无网格蒙特卡罗方法
DOI：
10.1145/3592398
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发表时间：
2023
影响因子：
6.2
通讯作者：
Crane, Keenan
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Sawhney, Rohan;Miller, Bailey;Gkioulekas, Ioannis;Crane, Keenan
基于球上行走 (WoS) 算法的无网格蒙特卡罗方法可求解基本偏微分方程 (PDE)，如泊松方程，无需离散问题域或在有限基础上逼近函数。因此，此类方法避免了解决方案中的混叠，并避免了网格生成的许多挑战。然而，对于复杂几何形状的问题，实用的无网格方法很大程度上局限于基本的狄利克雷边界条件。我们引入了星上行走 (WoSt) 算法，该算法求解具有任意混合诺依曼和狄利克雷边界条件的线性椭圆偏微分方程。关键的见解是，通过用星形域替换 WoS 使用的球，可以有效地模拟反射布朗运动（模拟诺依曼条件）。我们通过可见性轮廓上的最近点来识别这些域，只需用正常信息增强标准包围体层次结构即可。总体而言，WoSt 是 WoS 的简单修改，并保留了无网格蒙特卡罗方法的许多吸引人的功能，例如渐进式和视图相关的评估、简单的并行化以及次线性缩放以增加几何细节。
Grid-free Monte Carlo methods based on the walk on spheres (WoS) algorithm solve fundamental partial differential equations (PDEs) like the Poisson equation without discretizing the problem domain or approximating functions in a finite basis. Such methods hence avoid aliasing in the solution, and evade the many challenges of mesh generation. Yet for problems with complex geometry, practical grid-free methods have been largely limited to basic Dirichlet boundary conditions. We introduce the walk on stars (WoSt) algorithm, which solves linear elliptic PDEs with arbitrary mixed Neumann and Dirichlet boundary conditions. The key insight is that one can efficiently simulate reflecting Brownian motion (which models Neumann conditions) by replacing the balls used by WoS with star-shaped domains. We identify such domains via the closest point on the visibility silhouette, by simply augmenting a standard bounding volume hierarchy with normal information. Overall, WoSt is an easy modification of WoS, and retains the many attractive features of grid-free Monte Carlo methods such as progressive and view-dependent evaluation, trivial parallelization, and sublinear scaling to increasing geometric detail.
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