Sharp blow up estimates and precise asymptotic behavior of singular positive solutions to fractional Hardy-Hénon equations
Sharp blow up estimates and precise asymptotic behavior of singular positive solutions to fractional Hardy-Hénon equations
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分数 Hardy-Hénon 方程奇异正解的急剧爆炸估计和精确渐近行为
DOI：
10.1016/j.jde.2020.12.030
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发表时间：
2019-03
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
W. Zou
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
H.Yang;W. Zou
在本文中，我们研究了分数 Hardy-Hénon 方程 (− Δ) σ u=| 正解的渐近行为x| B 1\{0} 中的 α u p 在原点处具有孤立奇点，其中 σε(0, 1) 和穿孔单位球 B 1\{0}⊂ R n 且 n≥ 2。当− 2 σ< α< 2 σ 且 n+ α n− 2 σ< p< n+ 2 σ n− 2 σ 时，我们给出正解的孤立奇点的分类，特别是，这意味着尖锐炸毁奇异解的估计。此外，我们描述了奇点附近解的精确渐近行为。更一般地，我们对孤立边界奇点进行分类，并描述具有非线性诺伊曼边界条件的相关简并椭圆方程的奇异解的精确渐近行为。这些结果与 Gidas 和 Spruck (1981)[21] 证明的拉普拉斯对应物的已知结果相似，但方法非常不同，因为 ODE 分析在分数情况下缺少成分。我们的证明基于单调性公式，并结合放大（缩小）参数、开尔文变换以及 S+ n 上相关简并方程解的唯一性。我们还研究了位于分数 Hardy-Hénon 方程无穷大处的孤立奇点。
In this paper, we study the asymptotic behavior of positive solutions of the fractional Hardy-Hénon equation (− Δ) σ u=| x| α u p in B 1\{0} with an isolated singularity at the origin, where σ∈(0, 1) and the punctured unit ball B 1\{0}⊂ R n with n≥ 2. When− 2 σ< α< 2 σ and n+ α n− 2 σ< p< n+ 2 σ n− 2 σ, we give a classification of isolated singularities of positive solutions, and in particular, this implies sharp blow up estimates of singular solutions. Further, we describe the precise asymptotic behavior of solutions near the singularity. More generally, we classify isolated boundary singularities and describe the precise asymptotic behavior of singular solutions for a relevant degenerate elliptic equation with a nonlinear Neumann boundary condition. These results parallel those known for the Laplacian counterpart proved by Gidas and Spruck (1981)[21], but the methods are very different, since the ODEs analysis is a missing ingredient in the fractional case. Our proofs are based on a monotonicity formula, combined with blow up (down) arguments, Kelvin transformation and uniqueness of solutions of related degenerate equations on S+ n. We also investigate isolated singularities located at infinity of fractional Hardy-Hénon equations.
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M. Fall