Error Estimates for Regularization Methods in Hilbert Scales
Error Estimates for Regularization Methods in Hilbert Scales
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希尔伯特量表中正则化方法的误差估计
DOI：
10.1137/s0036142994269411
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发表时间：
1996
影响因子：
2.9
通讯作者：
U. Tautenhahn
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
U. Tautenhahn
在本文中，我们研究正则化方法来重建的解决方案$x^*$的线性不适定问题$Ax=y$，$A：X \到Y$，从噪声数据$y^\delta \在Y$。正则化方法的一般形式为$x_\alpha^\delta = \bar{x} + g_\alpha（B^{-s}A^*A）B^{-s}A^*（y^\delta -A\bar{x}）$其中$B$表示希尔伯特空间$X$中的无界自伴严格正定算子。假设$\|Ax\| \sim \|x\|_{-a}$和$\|x^*-\bar{x}\|_p \le E$对于X$中的某个$\bar{x} \，$a \ge 0$和$p \ge 0$（$x_r = \|B^{r/2} x\|$是希尔伯特尺度$（X_r）_{r \in \rnus}$中的范数）我们得到的误差估计表明，上述正则化方法的精度是阶最优的，只要函数$g_\alpha（\lambda）$、正则化参数$\alpha$和参数$s$被适当地选择。
In this paper we study regularization methods to reconstruct the solution $x^*$ of the linear ill-posed problem $Ax=y$, $A: X \to Y$, from noisy data $y^\delta \in Y$. The regularization methods are of the general form $x_\alpha^\delta = \bar{x} + g_\alpha (B^{-s}A^*A)B^{-s}A^* (y^\delta -A\bar{x})$ where $B$ denotes an unbounded self-adjoint strictly positive definite operator in the Hilbert space $X$. Assuming $\|Ax\| \sim \|x\|_{-a}$ and $\|x^*-\bar{x}\|_p \le E$ for some $\bar{x} \in X$, $a \ge 0$ and $p \ge 0$ ($\|x\|_r = \|B^{r/2} x\|$ is the norm in a Hilbert scale $(X_r)_{r \in \rnus}$) we derive error estimates which show that the accuracy of the above regularization methods is order optimal provided that the function $g_\alpha (\lambda)$, the regularization parameter $\alpha$, and the parameter $s$ are chosen properly.