On the critical dimension of a fourth order elliptic problem with negative exponent
On the critical dimension of a fourth order elliptic problem with negative exponent
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DOI：
10.1016/j.jde.2009.09.011
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发表时间：
2009-05
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Amir Moradifam
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Amir Moradifam
我们研究球 B⊂RN 上半线性双调和方程 βΔ2u−τΔu=λ(1−u)2 在 ∂B 上纳维边界条件 u=Δu=0 下的极值解的规律性，其中 λ>0 是参数，τ>0、β>0 是固定常数。已知存在 λ*，使得对于 λ>λ* 没有解，而对于 λ<λ* 则存在最小解分支。我们的主要结果断言，对于 N⩽8 和 β,τ>0，极值解 u* 是正则的 (supBu*<1)；对于 N⩾9、β>0 和 τ>0 且 τβ 较小的情况，极值解 u* 是奇异的 (supBu*=1)。我们对 N⩾9 维极值解奇异性的证明是基于某些改进的 Hardy-Rellich 不等式。
We study the regularity of the extremal solution of the semilinear biharmonic equation βΔ2u−τΔu=λ(1−u)2on a ball B⊂RN, under Navier boundary conditions u=Δu=0 on ∂B, where λ>0 is a parameter, while τ>0, β>0 are fixed constants. It is known that there exists λ∗such that for λ>λ∗there is no solution while for λ<λ∗there is a branch of minimal solutions. Our main result asserts that the extremal solution u∗is regular (supBu∗<1) for N⩽8 and β,τ>0 and it is singular (supBu∗=1) for N⩾9, β>0, and τ>0 with τβ small. Our proof for the singularity of extremal solutions in dimensions N⩾9 is based on certain improved Hardy–Rellich inequalities.