Bilinear forms on matrix algebras vanishing on zero products of xy and yx
Bilinear forms on matrix algebras vanishing on zero products of xy and yx
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DOI：
10.1016/j.laa.2014.04.004
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发表时间：
2014-07
影响因子：
1.1
通讯作者：
M. Koşan;Tsiu-Kwen Lee;Yiqiang Zhou
中科院分区：
文献类型：
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作者：
M. Koşan;Tsiu-Kwen Lee;Yiqiang Zhou
设 D 为中心 C 上的有限维除法代数，Ω:= M m (D)，D 上的 m× m 矩阵代数，V 为 C 上的向量空间。我们用简化迹和初等算子来表征 Ω 上的所有 n 线性形式。对于 m> 1，证明双线性形式 B: Ω× Ω→ V 在 xy 和 yx 的零乘积上消失当且仅当存在线性映射 g, h: Ω→ V 使得对于所有 x, y∈ Ω B (x, y)= g (x y)+ h (y x)。作为一个应用，如果只要 x, y∈ Ω 满足 x y+ xi y x= 0，则 B (x, y)= 0，则双线性形式 B 被完全表征，其中 xi 是 C 中的固定非零元素。
Let D be a division algebra finite-dimensional over its center C, Ω:= M m (D), the m× m matrix algebra over D, and V be a vector space over C. We characterize all n-linear forms on Ω in terms of reduced traces and elementary operators. For m> 1, it is proved that a bilinear form B: Ω× Ω→ V vanishes on zero products of xy and yx if and only if there exist linear maps g, h: Ω→ V such that B (x, y)= g (x y)+ h (y x) for all x, y∈ Ω. As an application, a bilinear form B is completely characterized if B (x, y)= 0 whenever x, y∈ Ω satisfy x y+ ξ y x= 0, where ξ is a fixed nonzero element in C.