Rational Solutions of the Painlevé-III Equation: Large Parameter Asymptotics
Rational Solutions of the Painlevé-III Equation: Large Parameter Asymptotics
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Painlevé-III 方程的有理解：大参数渐近
DOI：
10.1007/s00365-019-09463-4
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发表时间：
2020
影响因子：
2.7
通讯作者：
Miller, Peter D.
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Bothner, Thomas;Miller, Peter D.
带参数的 Painlevé-III 方程无论何时都有唯一的有理解。使用 Bothner 等人提出的黎曼-希尔伯特表示。 (Stud Appl Math 141:626–679, 2018)，我们研究了在固定限制下的渐近行为。我们在平面中分离出一个眼形域 E，该域渐近地限制第二个参数 m 的所有值的极点和零点。然后我们证明，除非m是半整数，否则E的内部充满了局部均匀的极点和零点格，并且极点和零点的密度在E的边界附近很小，但在原点附近爆炸，这是Painlevé-III方程唯一固定的奇点。在内部和外部域中，我们提供了精确的渐近公式，我们将其与自身的有限值进行比较，以说明其准确性。我们还考虑了特殊情况，其中 m 是半整数，表明现在的极点和零点仅沿着两个“眉毛”中的一个或另一个累积，即 E 的外部边界弧。
The Painlevé-III equation with parametersandhas a unique rational solutionwithwhenever. Using a Riemann–Hilbert representation proposed in Bothner et al. (Stud Appl Math 141:626–679, 2018), we study the asymptotic behavior ofin the limitwithheld fixed. We isolate an eye-shaped domainEin theplane that asymptotically confines the poles and zeros offor all values of the second parameterm. We then show that unlessmis a half-integer, the interior ofEis filled with a locally uniform lattice of poles and zeros, and the density of the poles and zeros is small near the boundary ofEbut blows up near the origin, which is the only fixed singularity of the Painlevé-III equation. In both the interior and exterior domains we provide accurate asymptotic formulæ forthat we compare withitself for finite values ofnto illustrate their accuracy. We also consider the exceptional cases wheremis a half-integer, showing that the poles and zeros ofnow accumulate along only one or the other of two “eyebrows,” i.e., exterior boundary arcs ofE.
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