Permutations with given peak set
Permutations with given peak set
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给定峰值集的排列
DOI：
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发表时间：
2012
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
B. Sagan
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Sara C. Billey;K. Burdzy;B. Sagan
令Sym_n表示所有排列pi = a_1.的对称群。a_n为{1，...，n}。如果a_{i-1} a_{i+1}，则指数i是pi的一个峰，我们设P（pi）是pi的峰的集合。给定任意正整数集合S，我们定义P（S;n）为Sym_n中的集合pi，其中P（pi）=S。我们的主要结果是：对于正整数S的所有固定子集和所有充分大的n，我们有#P（S;n）= p（n）2^{n-#S-1}，其中某个多项式p（n）依赖于S.我们显式计算p（n）的各种S的概率利益，包括某些情况下，S取决于n。我们还讨论了两个定理，一个是关于p（n）在二项系数基上展开式的系数的正性，另一个是关于集合S使#P（S;n）最大化（当#S固定时）。
Let Sym_n denote the symmetric group of all permutations pi = a_1...a_n of {1,...,n}. An index i is a peak of pi if a_{i-1} a_{i+1} and we let P(pi) be the set of peaks of pi. Given any set S of positive integers we define P(S;n) to be the set pi in Sym_n with P(pi)=S. Our main result is that for all fixed subsets of positive integers S and all sufficiently large n we have #P(S;n)= p(n) 2^{n-#S-1} for some polynomial p(n) depending on S. We explicitly compute p(n) for various S of probabilistic interest, including certain cases where S depends on n. We also discuss two conjectures, one about positivity of the coefficients of the expansion of p(n) in a binomial coefficient basis, and the other about sets S maximizing #P(S;n) when #S is fixed.