Finite groups, 2-generation and the uniform domination number
Finite groups, 2-generation and the uniform domination number
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DOI：
10.1007/s11856-020-2050-8
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发表时间：
2020-07-27
影响因子：
1
通讯作者：
Harper, Scott
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Burness, Timothy C.;Harper, Scott
设G是有限2生成非循环群。 G 的扩展是最大整数 k，使得对于任何非平凡元素 x(1)、水平省略号 、x(k)，都存在 G 的一个元素，使得 G= < x(i),y & rang；为了阿里。均匀分布的更严格的概念，表示为 du(G)，要求从 G 的固定共轭类中选择，Breuer、Guralnick 和 Kantor 定理指出，对于每个非阿贝尔有限单群 G，u(G) > 2。对于任何 u(G) > 1 的群，我们将 G 的均匀支配数 gamma(u)(G) 定义为共轭元素子集 S 的最小大小，使得对于每个nontrivialx 是 G 的一个元素，存在 S 的一个元素，其中 G= < x,y & rang; （在这种情况下，我们说 S 是 G 的一致支配集）。我们在最近的一篇论文中介绍了后一个概念，其中我们使用概率方法来确定所有简单群 G 的 gamma(u)(G) 上接近最佳可能的界限。在本文中，我们建立了关于有限群和有限简单群的扩散、均匀扩散和均匀支配数的几个新结果。例如，我们在 gamma(u)(G) = 2 的简单群 G 的分类方面取得了实质性进展，并且我们研究了两个随机选择的共轭元素形成 G 的均匀支配集的相关概率。我们还建立了关于第二代可溶群和对称群的新结果，并提出了几个悬而未决的问题。
LetGbe a finite 2-generated non-cyclic group. The spread ofGis the largest integerksuch that for any nontrivial elementsx(1), horizontal ellipsis ,x(k), there existsy is an element of Gsuch thatG= < x(i),y & rang; for alli. The more restrictive notion of uniform spread, denotedu(G), requiresyto be chosen from a fixed conjugacy class ofG, and a theorem of Breuer, Guralnick and Kantor states thatu(G) > 2 for every non-abelian finite simple group G. For any group withu(G) > 1, we define the uniform domination number gamma(u)(G) ofGto be the minimal size of a subsetSof conjugate elements such that for each nontrivialx is an element of Gthere existsy is an element of SwithG= < x,y & rang; (in this situation, we say thatSis a uniform dominating set forG). We introduced the latter notion in a recent paper, where we used probabilistic methods to determine close to best possible bounds on gamma(u)(G) for all simple groups G. In this paper we establish several new results on the spread, uniform spread and uniform domination number of finite groups and finite simple groups. For example, we make substantial progress towards a classification of the simple groupsGwith gamma(u)(G) = 2, and we study the associated probability that two randomly chosen conjugate elements form a uniform dominating set forG. We also establish new results concerning the 2-generation of soluble and symmetric groups, and we present several open problems.