A linear generalization of Gronwall’s inequality
A linear generalization of Gronwall’s inequality
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DOI：
10.1090/s0002-9939-1965-0181726-3
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发表时间：
1965-04
影响因子：
0.5
通讯作者：
D. Willett
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
D. Willett
其中k（t，s）和w0（t）是已知的非负函数，u（t）是未知的非负函数。例如，可以参考Bellman [1，pp. 35 ff.]，科丁顿和莱文森[2，pp. 37 ff.]，[3]，及其他。为了从（1.1）得到u（t）的真正上界，即，一个与u无关的上界，似乎有必要将k（t，s）中的变量t与涉及u（s）的被积函数分开。这可以通过假设k（t，s）是直接可分的来完成，即，存在可测函数i）？（i）（？= 1，2，· ··，n），使得
where k(t, s) and w0(t) are known non-negative functions and u(t) is an unknown non-negative function. For examples, one can refer to Bellman [l, pp. 35 ff.], Coddington and Levinson [2, pp. 37 ff.], Willett [3], and others. In order to obtain from (1.1) a genuine upper bound for u(t), i.e., an upper bound independent of u, it seems necessary to separate the variable t in k(t, s) from the integrand involving u(s). This can be done by assuming that k(t, s) is directly separable, i.e.,thatthereexistmeasurablefunctionsi)?(/)andw,(i) (? = 1,2, • • ■ ,n) such that