Fractional Damping Through Restricted Calculus of Variations
Fractional Damping Through Restricted Calculus of Variations
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通过受限变分计算的分数阻尼
DOI：
10.1007/s00332-021-09700-w
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发表时间：
2021
影响因子：
3
通讯作者：
Jiménez F
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Jiménez F
我们通过建立一个受限的汉密尔顿原理，为分数阶阻尼下拉格朗日力学系统的变分描述提供了一种新的方法。分数阶阻尼是一种特殊的非局部（时间）阻尼，在机械工程应用中普遍存在。受限汉密尔顿原理依赖于包括分数阶导数到状态空间，曲线的加倍（这意味着一个额外的镜像系统）和变化曲线类的限制。我们将得到正确的动力学，并严格地证明额外的镜像动力学只是反向时间中的主动力学；因此，受限制的汉密尔顿原理并没有给原来的系统增加额外的物理性质。另一方面，要付出的代价是，分数阶阻尼动力学只是作用极值的充分条件。此外，我们还对新原理进行了离散化。这种离散化为连续动力学提供了一组数值积分器，我们称之为分数变分积分器（FVIs）。在相同的条件下，即离散曲线的加倍和离散变化的限制，得到了离散动力学。我们在两个例子中展示了局部截断阶为1的FVIs的性能。与其他具有变分起源的积分器一样，例如那些由离散拉格朗日-达朗贝尔原理产生的积分器，它们显示出跟踪耗散能量的优越性能，而不是直接（1阶）离散的耗散方程，如显式和隐式欧拉方案。
We deliver a novel approach towards the variational description of Lagrangian mechanical systems subject to fractional damping by establishing a restricted Hamilton’s principle. Fractional damping is a particular instance of non-local (in time) damping, which is ubiquitous in mechanical engineering applications. The restricted Hamilton’s principle relies on including fractional derivatives to the state space, the doubling of curves (which implies an extra mirror system) and the restriction of the class of varied curves. We will obtain the correct dynamics and will show rigorously that the extra mirror dynamics is nothing but the principal one in reversed time; thus, the restricted Hamilton’s principle is not adding extra physics to the original system. The price to pay, on the other hand, is that the fractional damped dynamics is only a sufficient condition for the extremals of the action. In addition, we proceed to discretise the new principle. This discretisation provides a set of numerical integrators for the continuous dynamics that we denote Fractional Variational Integrators (FVIs). The discrete dynamics is obtained upon the same ingredients, say doubling of discrete curves and restriction of the discrete variations. We display the performance of the FVIs, which have local truncation order 1, in two examples. As other integrators with variational origin, for instance those generated by the discrete Lagrange–d’Alembert principle, they show a superior performance tracking the dissipative energy, in opposition to direct (order 1) discretisations of the dissipative equations, such as explicit and implicit Euler schemes.
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