Closed manifolds with transcendental L2‐Betti numbers
Closed manifolds with transcendental L2‐Betti numbers
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具有超越 L2âBetti 数的闭流形
DOI：
10.1112/jlms/jdv026
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发表时间：
2015
期刊：
影响因子：
--
通讯作者：
Andrzej Zuk
中科院分区：
文献类型：
--
作者：
Mikaël Pichot;Thomas Schick;Andrzej Zuk
在本文中，我们展示了如何构造闭流形的例子，显式计算的无理数，甚至超越L2贝蒂数，通过通用覆盖定义。我们证明了每个非负的真实的数都表现为紧致流形的某个覆盖的L2-Betti数，并且许多可计算的真实的数都表现为紧致流形的泛覆盖的L2-Betti数（下面给出了可计算的精确含义）。在代数方面，对于许多给定的可计算的真实的数（特别是许多超越数），我们展示了如何构建一个群和一个元素的整群环，使L2-维的内核是给定的数字。我们遵循Austin在“Rational group ring elements with kernels having rational dimension”arXiv：0909.2360）中开创的方法，但对其进行改进以获得非常明确的计算，从而使上述陈述成为可能。
In this paper, we show how to construct examples of closed manifolds with explicitly computed irrational, even transcendental L2 Betti numbers, defined via the universal covering. We show that every non-negative real number shows up as an L2-Betti number of some covering of a compact manifold, and that many computable real numbers appear as an L2-Betti number of a universal covering of a compact manifold (with a precise meaning of computable given below). In algebraic terms, for many given computable real numbers (in particular for many transcendental numbers) we show how to construct a finitely presented group and an element in the integral group ring such that the L2-dimension of the kernel is the given number. We follow the method pioneered by Austin in "Rational group ring elements with kernels having irrational dimension" arXiv:0909.2360) but refine it to get very explicit calculations which make the above statements possible.
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