Some Extensions of the Crouzeix-Palencia Result
Some Extensions of the Crouzeix-Palencia Result
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Crouzeix-Palencia 结果的一些扩展
DOI：
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发表时间：
2017
影响因子：
1.5
通讯作者：
Kenan Li
中科院分区：
文献类型：
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作者：
T. Caldwell;A. Greenbaum;Kenan Li
在[{\em的数值范围是一个$（1 + \sqrt{2}）$-谱集}，SIAM J.矩阵分析。Appl. 38（2017），pp.~ 649-655]，Crouzeix和帕伦西亚证明了一个方阵或线性算子A的数值域是a A的（1 + \sqrt{2}）$-谱集;也就是说，对于任何函数f在数值域W（A）的内部解析并且在其边界上连续，不等式$f（A）\| \leq（1 + \sqrt{2}）f_{W（A）}$成立，其中左边的范数是算子2-范数，右边的f_{W（A）}$表示上确界|f（z）|$ over $z \in W（A）$.在本文中，我们展示了如何在他们的论文中的参数可以扩展到表明，在复平面上的其他区域不一定包含$W（A）$是$K$-谱集的值$K $可能接近$1 + \sqrt{2}$。我们还发现了一些特殊情况，其中$W（A）$的常数$（1 + \sqrt{2}）$可以被Crouzeix所证明的值$2$代替。
In [{\em The Numerical Range is a $(1 + \sqrt{2})$-Spectral Set}, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 38 (2017), pp.~649-655], Crouzeix and Palencia show that the numerical range of a square matrix or linear operator $A$ is a $(1 + \sqrt{2})$-spectral set for $A$; that is, for any function $f$ analytic in the interior of the numerical range $W(A)$ and continuous on its boundary, the inequality $\| f(A) \| \leq (1 + \sqrt{2} ) \| f \|_{W(A)}$ holds, where the norm on the left is the operator 2-norm and $\| f \|_{W(A)}$ on the right denotes the supremum of $| f(z) |$ over $z \in W(A)$. In this paper, we show how the arguments in their paper can be extended to show that other regions in the complex plane that do {\em not} necessarily contain $W(A)$ are $K$-spectral sets for a value of $K$ that may be close to $1 + \sqrt{2}$. We also find some special cases in which the constant $(1 + \sqrt{2})$ for $W(A)$ can be replaced by $2$, which is the value conjectured by Crouzeix.