The completion of optimal $(3,4)$-packings
The completion of optimal $(3,4)$-packings
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DOI：
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发表时间：
2014-01
期刊：
影响因子：
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通讯作者：
Jingjun Bao;L. Ji
中科院分区：
文献类型：
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作者：
Jingjun Bao;L. Ji
一个3-$（n，4，1）$填充设计由一个$n$元素集$X$和一个$X$的$4$元素子集的集合组成，称为{\it blocks}，使得$X$的每个$3$元素子集最多包含在一个块中。四元组d（3，4，n）的包装数表示最大3-（n，4，1）包装设计中的块的数量，其也是长度为n、恒定权重为4和最小汉明距离为4的码中码字的最大数量A（n，4，4）。本文证明了待定的21个包装数$A（n，4，4）$等于约翰逊界$J（n，4，4）$ $（=\lfloor\frac{n}{4}\lfloor\frac{n-1}{3}\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor\rfloor）$其中$n= 6 k +5$，$k\in \{m：\ m$是奇数，$3\leq m\leq 35，\ m\neq 17，21\}\cup \{45，47，75，77，79，159\}$.
A 3-$(n,4,1)$ packing design consists of an $n$-element set $X$ and a collection of $4$-element subsets of $X$, called {\it blocks}, such that every $3$-element subset of $X$ is contained in at most one block. The packing number of quadruples $d(3,4,n)$ denotes the number of blocks in a maximum $3$-$(n,4,1)$ packing design, which is also the maximum number $A(n,4,4)$ of codewords in a code of length $n$, constant weight $4$, and minimum Hamming distance 4. In this paper the undecided 21 packing numbers $A(n,4,4)$ are shown to be equal to Johnson bound $J(n,4,4)$ $( =\lfloor\frac{n}{4}\lfloor\frac{n-1}{3}\lfloor\frac{n-2}{2}\rfloor\rfloor\rfloor)$ where $n=6k+5$, $k\in \{m:\ m$ is odd, $3\leq m\leq 35,\ m\neq 17,21\}\cup \{45,47,75,77,79,159\}$.